[論文レビュー] Sup-norm adaptive simultaneous drift estimation for ergodic diffusions

Cathrine Aeckerle-Willems, Claudia Strauch|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Statistical Methods and Inference参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、エルゴディックな拡散過程における非パラメトリックなドリフト推定のためのデータ駆動型帯域幅選択手順を提案し、Lepskiの手法と確率過程の一様指数的不等式を用いて、最小最大のsup-norm収束速度を達成する。これは、ドリフトの滑らかさに関する事前知識がなくても、同時に最適な収束速度を持つドリフト推定量と、半パラメトリックに有効な不変密度推定量を提供する。滑らかさに関する弱い正則性条件のもとで成立する。

ABSTRACT

We consider the question of estimating the drift and the invariant density for a large class of scalar ergodic diffusion processes, based on continuous observations, in $\sup$-norm loss. The unknown drift $b$ is supposed to belong to a nonparametric class of smooth functions of unknown order. We suggest an adaptive approach which allows to construct drift estimators attaining minimax optimal $\sup$-norm rates of convergence. In addition, we prove a Donsker theorem for the classical kernel estimator of the invariant density and establish its semiparametric efficiency. Finally, we combine both results and propose a fully data-driven bandwidth selection procedure which simultaneously yields both a rate-optimal drift estimator and an asymptotically efficient estimator of the invariant density of the diffusion. Crucial tool for our investigation are uniform exponential inequalities for empirical processes of diffusions.

研究の動機と目的

• 連続時間エルゴディック拡散過程における非パラメトリックドリフト推定のための、適応的かつ完全にデータ駆動型の帯域幅選択法を開発すること。
• ドリフト係数の滑らかさが未知である場合の、Nadaraya–Watson型ドリフト推定量の最小最大最適sup-norm収束速度を確立すること。
• 不変密度の古典的カーネル推定量について、sup-norm位相におけるDonsker型定理を証明すること。
• 与えられた正則性仮定のもとで、不変密度推定量の半パラメトリック効率性を示すこと。
• 1つの帯域幅選択によってドリフト推定と不変密度推定の両方のタスクを統合し、ドリフト推定の最適化と不変密度の効率性を同時に達成すること

提案手法

• ドリフトの滑らかさに関する事前知識がなくても、最小最大sup-norm収束速度を達成できるように、Lepskiの手法を用いて適応的帯域幅選択を実現する。
• sup-normの偏差を制御するための主要な技術的道具として、拡散過程の経験過程に対する一様指数的不等式を用いる。
• 有界でない状態空間に対処し、被覆数が有限になるようにするために、compactly supported関数族を用いた局所化手続きと最大不等式を適用する。
• 局所化された関数族における混合尾部の増分を用いたチェインニングを用いて、モーメントの上限と集中不等式を導出する。
• モーメントの上限と集中不等式を組み合わせて、ドリフト推定量および不変密度推定量のsup-normリスク上限を導出する。
• ℓ∞(ℝ)における漸近正規性を証明し、Cramér–Rao下界と一致させることで、不変密度推定量の半パラメトリック効率性を確立する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エルゴディック拡散過程において、ドリフト推定量の最小最大sup-norm収束速度と不変密度推定量の半パラメトリック効率性を同時に達成できる、完全にデータ駆動型の帯域幅選択手順を構築できるか？
• RQ2 ドリフト係数の滑らかさが未知で、かつ有界でない可能性がある場合の、非パラメトリックドリフト推定の最適sup-norm収束速度は何か？
• RQ3 古典的カーネル推定量が、ℓ∞(ℝ)位相において漸近正規性と半パラメトリック効率性を達成するための条件は何か？
• RQ4 拡散過程の経験過程に対する一様指数的不等式を用いて、非パラメトリック推定におけるsup-normの偏差をどのように制御できるか？
• RQ5 連続観測の理論枠組みを、離散観測スキームや多次元拡散過程へとどの程度拡張できるか？

主な発見

• 提案された適応的帯域幅選択手順は、ドリフトの滑らかさが未知であっても、非パラメトリックHölder空間上でのドリフト推定量の最小最大最適sup-norm収束速度を達成する。
• 不変密度の古典的カーネル推定量は、ドリフトに関する弱い正則性条件のもとで、ℓ∞(ℝ)において漸近正規であり、半パラメトリックに有効であることが示された。
• 不変密度推定量について、sup-normにおけるDonsker型定理が確立され、それがℓ∞(ℝ)におけるガウス過程への弱収束を確認した。
• 拡散過程の経験過程に対して導出された一様指数的不等式は、非漸近的解析においてsup-normの偏差をきめ細かく制御可能であることを示した。
• compactly supported関数を用いた局所化手続きと最大不等式により、可積分性が保証され、ℝ上での無限被覆数に対してもチェインニングの適用が可能となった。
• 1つの帯域幅選択によってドリフト推定と密度推定を統合し、最適収束速度と効率性の両方を達成した。帯域幅はデータ駆動型Lepskiの手法によって選択された。