[論文レビュー] Super-Yang-Mills quantum mechanics and supermembrane spectrum

Andrei Smilga|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、2+1次元における標準的スーパーメンブレン理論が、エネルギーコストなしにゼロ面積の「ニードル」を放出できる膜配置の古典的 degeneracy により連続的な質量スペクトルを示すことを示している。超対称性がある場合でさえ、量子補正はこの degeneracy を解体せず、低質量状態の有効場理論が定義不能になる。著者らは、この問題は『剛体メンブレン』モデルに類似した高次微分項を作用に追加することで解決可能であると提唱しており、高曲率配置を抑制し、離散的スペクトルをもたらす可能性がある。

ABSTRACT

It is shown that the mass spectrum of supermembrane theory is continuous. This fact is due to the trivial circumstance that a membrane can emit "needles" of zero area with no cost in energy. In supersymmetric case, this classical degeneracy is not lifted by quantum corrections. This unpleasant property may be cured, perhaps, for the supermembrane with a modified action involving higher derivative terms.

研究の動機と目的

• 2+1次元におけるスーパーメンブレン理論の質量スペクトルを分析し、連続的スペクトルの原因を特定すること。
• 超対称的場合における量子補正が、連続的スペクトルを引き起こす古典的デジェネラシーを解体するかを調査すること。
• 高次微分項をスーパーメンブレン作用に追加することで、離散的質量スペクトルを達成できるかを検討すること。
• 連続的スペクトルを持つ系に対して、ウィッテン指数が果たす役割の限界を評価すること。
• スーパーユーグリヤン・ミールズ量子力学のNが非常に大きい極限を用いた正則化スキームを、スーパーメンブレンハミルトニアンの代理として提案すること。

提案手法

• SU(N) スーパーユーグリヤン・ミールズ量子力学のNが非常に大きい極限を、スーパーメンブレンハミルトニアンの正則化に用い、場を膜座標の球面調和関数に写像する。
• 次の対応によりスーパーメンブレンハミルトニアンを行列モデルに写像する: $X_I(\sigma) \to \sum_{LM} A^{LM}_I Y^{LM}(\theta,\phi)$、ここで $A^{LM}_I$ は行列変数である。
• 構造定数 $f_{ABC}^{SU(N)}$ が $N \to \infty$ の極限で面積保存微分同相群の代数に近づくことを利用して、$H^{\rm SYM\ QM}$ を行列場 $A^A_I$ および $\lambda_\alpha^A$ の関数として分析する。
• 配置空間における谷（valleys）を特定し、$[A_I, A_J] = 0$ となる領域でポテンシャルエネルギーが消え、古典的デジェネラシーが生じることを示す。
• ウィッテンの指数の議論を適用し、スペクトルにギャップがないため、超対称性が量子領域でもデジェネラシーを解体しないことを示す。
• 『剛体ストリング』モデルに類似した外在的曲率項を作用に追加することで、スーパーメンブレン作用を修正し、ニードル状配置を抑制し、離散的スペクトルを回復する可能性を提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ2+1次元における標準的スーパーメンブレン理論は連続的質量スペクトルを示すのか？
• RQ2 超対称的状態において、ゼロ面積のニードル状膜変形に関連する古典的デジェネラシーは、量子領域で解体されるのか？
• RQ3 ウィッテン指数は、スーパーメンブレンのような連続的スペクトルを持つ系に対して意味的に適切に適用可能か？
• RQ4 SU(N) スーパーユーグリヤン・ミールズ量子力学のNが非常に大きい極限は、スーパーメンブレンハミルトニアンの正当な正則化であるか？
• RQ5 スーパーメンブレン作用に高次微分項を追加することで、スペクトルを安定化させ、離散的質量スペクトルを達成できるか？

主な発見

• スーパーメンブレンの質量スペクトルが連続的であるのは、膜がエネルギーコストなしにゼロ面積の「ニードル」を放出でき、配置空間に無限次元の谷が存在するためである。
• この古典的デジェネラシーは、ウィッテン指数解析におけるゼロエネルギー状態の持続により、超対称的状態でも量子補正によって解体されない。
• SU(N) スーパーユーグリヤン・ミールズ量子力学のNが非常に大きい極限は、スーパーメンブレンハミルトニアンの正当な正則化を提供し、SU(N)の構造定数が $N \to \infty$ の極限で面積保存微分同相群の定数に近づく。
• 連続的スペクトルを持つ系に対してはウィッテン指数が定義不能であり、基底状態と励起状態の間のギャップが存在しないため、曖昧または分数値の指数値が生じる。
• 連続的スペクトルは、2つの要因に起因する：無限に広がる谷の存在と、超対称性によって生じる高速変数ハミルトニアンの基底状態エネルギーの消滅。
• 解決策の一つとして、外在的曲率項（『剛体メンブレン』モデルに類似）をスーパーメンブレン作用に追加することで、高曲率配置を抑制し、離散的質量スペクトルを回復できる可能性がある。