[論文レビュー] Superconformal mechanics in SU(2|1) superspace

Евгений Алексеевич Иванов, Stepan Sidorov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$SU(2|1)$ 超多重項形式を用いて、$d=1$ の多重項 $(\mathbf{1,4,3})$ および $(\mathbf{2,4,2})$ の ${\cal N}=4$ 超共形力学系の作用を構築する。作用がパラメータ $\mu$ の偶関数であるとき、超共形不変性が自然に生じ、三角関数的実現と $\sim \mu^2$ の調和振動子型ポテンシャルが得られ、$\mu \to i\mu$ の置換により双曲的実現が得られる。この枠組みは、1つの超多重項形式によって放物型、三角関数型、双曲型の共形力学系を統一的に扱う。

ABSTRACT

Using the worldline SU(2|1) superfield approach, we construct N=4 superconformally invariant actions for the d=1 multiplets (1, 4, 3) and (2, 4, 2). The SU(2|1) superfield framework automatically implies the trigonometric realization of the superconformal symmetry and the harmonic oscillator term in the corresponding component actions. We deal with the general N=4 superconformal algebra D(2,1;$α$) and its central-extended $α$=0 and $α$=-1 psu(1,1|2)$\oplus$su(2) descendants. We capitalize on the observation that D(2,1;$α$) at $α eq$0 can be treated as a closure of its two su(2|1) subalgebras, one of which defines the superisometry of the SU(2|1) superspace, while the other is related to the first one through the reflection of $μ$, the parameter of contraction to the flat N=4, d=1 superspace. This closure property and its $α$=0 analog suggest a simple criterion for the SU(2|1) invariant actions to be superconformal: they should be even functions of $μ$. We find that the superconformal actions of the multiplet (2, 4, 2) exist only at $α$=-1, 0 and are reduced to a sum of the free sigma-model type action and the conformal superpotential yielding, respectively, the oscillator potential $\sim μ^2$ and the standard conformal inverse-square potential in the bosonic sector. The sigma-model action in this case can be constructed only on account of non-zero central charge in the superalgebra su(1,1|2).

研究の動機と目的

• 本稿は、$SU(2|1)$ 超多重項形式を用いて、$d=1$ の多重項 $(\mathbf{1,4,3})$ および $(\mathbf{2,4,2})$ の超共形作用を構築することを目的とする。
• 超共形不変性の普遍的基準を特定すること：作用はパラメータ $\mu$ の偶関数でなければならない。
• 三角関数的および双曲的実現の両方が、1つの $SU(2|1)$ 超多重項形式によって統一的に扱えるようにすること。
• $\mu$-依存の調和振動子項の役割と、$su(2|1)$ の部分代数の閉包からその出現がどのように生じるかを明確化すること。

提案手法

• 著者らは、$D(2,1;\alpha)$ 超共形代数を、パラメータ $\mu$ と $-\mu$ を持つ2つの $su(2|1)$ 部分代数を用いて実現する $SU(2|1)$ 超多重項形式を用い、完全な超代数の閉包を達成する。
• 彼らは、$SU(2|1)$ 超空間において、非オフシェル分離可能な多重項 $(\mathbf{1,4,3})$ および $(\mathbf{2,4,2})$ を構築し、作用が完全な $D(2,1;\alpha)$ 代数に関して不変であることを保証する。
• 超共形不変性の鍵となる基準は、作用が $\mu$ の偶関数であることである。これは、超代数の $\mu \to -\mu$ の反射対称性に対する不変性に対応する。
• 作用のボソン的セクターには、自動的に調和振動子項 $\sim \mu^2$ が含まれる。これは超多重項幾何学と $SU(2|1)$ 超群構造から生じる。
• 双曲的実現は、解析接続 $\mu \to i\mu$ を行うことにより得られ、ボソン的セクターに逆二乗ポテンシャルが現れる。
• この構成により、$D(2,1;\alpha)$ の $\alpha=0$ および $\alpha=-1$ の場合が、$\mu$-依存の中心的チャージを持つ平坦な $\mathcal{N}=4$ 超代数の閉包として実現されることが明示的に示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $\mathcal{N}=4$ 超共形力学系を $SU(2|1)$ 超空間において、多重項 $(\mathbf{1,4,3})$ および $(\mathbf{2,4,2})$ に対して一貫して定式化できるか？
• RQ2 パラメータ $\mu$ は、調和振動子型ポテンシャルを生成し、超共形不変性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 なぜ $(\mathbf{2,4,2})$ 多重項の作用は $\alpha = -1$ および $\alpha = 0$ のみで存在するのか？この制限の物理的起源は何か？
• RQ4 2つの $su(2|1)$ 部分代数（$\mu$ および $-\mu$ を持つ）の閉包が、超共形不変性の普遍的基準をどのように提供するのか？
• RQ5 三角関数的実現と双曲的実現の $D(2,1;\alpha)$ 間の関係は何か？なぜ三角関数的実現のみがユニタリであるのか？

主な発見

• $SU(2|1)$ 超多重項形式は、自然に $D(2,1;\alpha)$ 超共形対称性の三角関数的実現を実現し、ボソン的セクターに $\sim \mu^2$ の調和振動子型ポテンシャルが自動的に現れる。
• 作用が $\mu$ の偶関数である限り、超共形不変性が保証され、これは超代数の $\mu \to -\mu$ の反射対称性に対する不変性に対応する。
• $(\mathbf{2,4,2})$ 多重項の場合、超共形作用は $\alpha = -1$ および $\alpha = 0$ のみで存在し、自由なシグマ模型作用と共形的超ポテンシャルの組み合わせから成り、それぞれ $\sim \mu^2$ および逆二乗ポテンシャルを生じる。
• $\alpha=0$ の場合、$psu(1,1|2) \oplus su(2)$ の中心的拡張に対応し、この代数における非ゼロの中心的チャージのおかげで超共形作用が生じる。
• 双曲的実現は、解析接続 $\mu \to i\mu$ を行うことで得られるが、ハミルトニアンを $\hat{H} + \frac{\mu^2}{4}\hat{K}$ として再定義しなければ、有界でないポテンシャルが生じる。この再定義によりユニタリ性が回復される。
• パラメータ $\mu = 0$ の極限では、標準的な $\mathcal{N}=4$ ポアンカレ超共形力学系が回復され、$SU(2|1)$ の枠組みが、すべての3つのタイプの共形力学系を滑らかに接続していることが示された。