[論文レビュー] Superconformal vertex algebras in differential geometry. I

Jian Zhou|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、シグマ模型を避けて、リーマン、複素、ケーラー、およびハイパーケーラー多様体から直接N=1、N=2、N=4超共形頂点代数（SCVA）を構成する。AおよびB-twistのN=2 SCVAのBRSTコホモロジーが、それぞれH*(M, Λ*(T*M))およびH*(M, Λ*(TM))に同型であることを示し、AおよびB理論の数学的定式化を提供するとともに、楕円的生成関数（elliptic genera）と関連付ける。

ABSTRACT

We show how to construct an N=1 superconformal vertex algebra (SCVA) from any Riemannian manifold. When the Riemannian manifold has special holonomy groups, we discuss the extended supersymmetry. When the manifold is complex or Kähler, we also generalize the construction to obtain N=2 SCVA's. We study the BRST cohomology groups of the topological vertex algebras obtained by the $A$ twist and the $B$ twist from these N=2 SCVA's. We show that for one of them, the BRST cohomologies are isomorphic to $H^*(M, Λ^*(T^*M))$ and $H^*(M, Λ^*(TM))$ respectively. This provides a mathematical formulation of the $A$ theory and $B$ theory in physics literature. The connection with elliptic genera is also discussed. Furthermore, when the manifold is hyperkähler, we generalize our constructions to obtain N=4 SCVA's. A heuristic relationship with super loop space is also discussed.

研究の動機と目的

• リーマン、複素、ケーラー、ハイパーケーラー多様体から、シグマ模型に依存せずに、N=1、N=2、N=4超共形頂点代数（SCVA）を厳密に数学的に構成すること。
• AおよびB理論を、複素多様体上の微分形式の特定のコホモロジー群とそのBRSTコホモロジーを同一視することで、弦理論における数学的定式化を行うこと。
• 従来の層の頂点代数の使用を拡張し、SCVAのバンドルを用いることで、標準的な微分幾何学的手法を可能にすること。
• ループ空間の幾何と半無限形式を通じて、構築されたSCVAと楕円的生成関数との関係を確立すること。
• 超多様体理論と不変局所化のアイデアを用いて、頂点代数構造と超ループ空間との間のヒューリスティックな関係を探索すること。

提案手法

• 多様体M上に、Mの幾何的構造（リーマン、複素、ケーラー、ハイパーケーラー）に応じたファイバー型を持つ超共形頂点代数のバンドルを構成する。
• これらのバンドルの切断の空間を用いて、対応するN=1、N=2、またはN=4型のSCVAを定義する。
• 複素多様体およびケーラー多様体の場合、バンドルを正則ベクトル束とみなしてドルベール作用素を導入し、対応するドルベールコホモロジーが同じ型のSCVAであることを示す。
• N=2 SCVAにAおよびB-twistを適用し、トポロジカルな頂点代数を得た後、そのBRSTコホモロジーを計算する。
• ループ空間の複素化された接束の分解を用いて、超ループ空間上の半無限形式をM上の頂点代数構造に関連付ける。
• 超多様体形式を用いて超ループ空間をモデル化し、固定点集合がMに余接束構造を備えたものとなるようにし、超ループ空間上の半無限形式バンドルをこの集合に制限したものを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のリーマン多様体からN=1超共形頂点代数を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 弦理論におけるAおよびB理論の数学的構造は何か？ また、シグマ模型に依存せずにそれらをどのように定式化できるか？
• RQ3 複素多様体M上のN=2 SCVAのAおよびB-twistのBRSTコホモロジーは、M上の微分形式のコホモロジー群とどのように関係するか？
• RQ4 特殊ホロノミー（例：G2、Spin(7)、Calabi-Yau）は、構築されたSCVAにおける超対称性をより高いNへ拡張するために果たす役割は何か？
• RQ5 ループ空間の幾何と半無限形式の性質を用いて、頂点代数と楕円的生成関数、K理論との関係をどのように結びつけることができるか？

主な発見

• 複素多様体M上のN=2 SCVAのA-twistのBRSTコホモロジーは、コホモロジー群H*(M, Λ*(T*M))に同型である。
• 複素多様体M上のN=2 SCVAのB-twistのBRSTコホモロジーは、コホモロジー群H*(M, Λ*(TM))に同型である。
• 特殊ホロノミー（例：Calabi-Yau）を有するケーラー多様体の場合、この構成によりN=2 SCVAが得られ、そのAおよびB-twistは物理的なAおよびB理論を数学的に再現する。
• 多様体がハイパーケーラーである場合、この構成はN=4超共形頂点代数へ一般化される。
• 超ループ空間上の半無限形式バンドルを固定点集合（M, T*M）に制限したものは、Λ(⊕_{n≤0} t^n T*M) ⊗ S(⊕_{n<0} t^n T*M)に同型であり、頂点代数構造の幾何的モデルを提供する。
• この構成により、ループ空間上の頂点代数を用いた楕円的生成関数の新たな幾何的アプローチが得られ、頂点代数のK理論とのヒューリスティックな関係が示唆される。