[论文解读] Supergroupoids, double structures, and equivariant cohomology

Rajan Amit Mehta|ArXiv.org|May 14, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 52被引用 73

一句话总结

本文引入了Q-群oids和Q-代数oids——即配备相容的同调向量场的超群oids和超代数oids——并确立了它们在Mackenzie的LA-群oids与双重复形之间作为中介的角色。该文从Q-代数oids构造了一个双重复形，实现了等变上同调的BRST模型、李双代数的Drinfel'd对偶以及Ginzburg的等变泊松上同调，并证明了Q-群oids的超群oids版本的van Est映射，建立了Q-群oids与Q-代数oids的双重复形之间的关系。

ABSTRACT

Q-groupoids and Q-algebroids are, respectively, supergroupoids and superalgebroids that are equipped with compatible homological vector fields. These new objects are closely related to the double structures of Mackenzie; in particular, we show that Q-groupoids are intermediary objects between Mackenzie's LA-groupoids and double complexes, which include as a special case the simplicial model of equivariant cohomology. There is also a double complex associated to a Q-algebroid, which in the above special case is the BRST model of equivariant cohomology. Other special cases include models for the Drinfel'd double of a Lie bialgebra and Ginzburg's equivariant Poisson cohomology. Finally, a supergroupoid version of the van Est map is used to give a homomorphism from the double complex of a Q-groupoid to that of a Q-algebroid.

研究动机与目标

• 通过Q-群oids和Q-代数oids构建等变上同调的超几何框架。
• 通过引入Q-群oids作为中介结构，弥合Mackenzie的LA-群oids与双重复形之间的联系。
• 从Q-代数oids构造一个双重复形，实现已知的等变上同调模型，包括BRST与泊松上同调。
• 将van Est映射推广至超几何设定，建立Q-群oids与Q-代数oids的双重复形之间的同态关系。
• 通过单纯流形与分类空间的几何实现，在超几何设定下实现等变上同调的几何实现代。

提出的方法

• 将Q-群oids和Q-代数oids定义为配备相容同调向量场的超群oids和超代数oids。
• 利用李函子，通过左不变向量场与可乘结构，将Q-群oids与Q-代数oids联系起来。
• 利用德拉姆微分与单纯余边界算子，从Q-代数oids构造一个双重复形。
• 应用超群oids版本的van Est映射，将Q-群oids的双重复形与相应Q-代数oids的双重复形联系起来。
• 利用单纯流形与几何实现，通过作用群oids的神经复形建模分类空间与等变上同调。
• 通过谱序列论证与分类空间的可缩性，建立双重复形的总上同调与等变上同调之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Q-群oids如何作为Mackenzie的LA-群oids与双重复形之间的桥梁？
• RQ2 从Q-代数oids产生的双重复形结构是什么？它如何恢复已知的等变上同调模型？
• RQ3 van Est映射能否推广至超几何设定，以关联Q-群oids与Q-代数oids的上同调？
• RQ4 Q-代数oids如何实现BRST复形与Ginzburg的等变泊松上同调？
• RQ5 单纯流形与几何实现在此框架中实现等变上同调的机制是什么？

主要发现

• Q-群oids被证明是LA-群oids与双重复形之间的中介对象，为这些结构提供了超几何统一。
• 与Q-代数oids相关联的双重复形将BRST模型的等变上同调作为特例实现。
• 相同的双重复形构造也实现了李双代数的Drinfel'd对偶与Ginzburg的等变泊松上同调。
• 构建了Q-群oids的超群oids版本的van Est映射，得到了从Q-群oids的双重复形到其关联Q-代数oids的双重复形的同态映射。
• Q-代数oids的双重复形的总上同调与等变上同调 $ H^ullet_G(M) $ 同构，该同构通过作用群oids的神经复形实现。
• 由于 $ |Nar{M}| $ 的可缩性与同构 $ |Nar{G}|/G \to |NG| $，确认了分类丛结构，从而在单纯设定下验证了Borel模型。