[論文レビュー] Superintegrable Deformations of the Smorodinsky–Winternitz Hamiltonian 1

Ángel Ballesteros, Francisco J. Herranz+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、量子化された sl(2) ポissonコペアの非標準的変形と余代数的構造を用いて、古典的スモロディンスキー＝ワインターニュイスト（SW）ハミルトニアンの超可積分的変形を構成する、余代数に基づく手法を提案する。非標準的量子変形と余代数的構造を適用することで、(2N−2) 個の関数的に独立な運動積分を保つ可積分系および準最大超可積分系が得られ、余代数的対称性と超可積分性の一般的な関係が示された。

ABSTRACT

Abstract. A constructive procedure to obtain superintegrable deformations of the classical Smorodinsky–Winternitz Hamiltonian by using quantum deformations of its underlying Poisson sl(2) coalgebra symmetry is introduced. Through this example, the general connection between coalgebra symmetry and quasi-maximal superintegrability is analysed. The notion of comodule algebra symmetry is also shown to be applicable in order to construct new integrable deformations of certain Smorodinsky–Winternitz systems. 1 Published in Superintegrability in Classical and Quantum Systems, edited by P. Tempesta,

研究の動機と目的

• 古典的スモロディンスキー＝ワインターニュイスト ハミルトニアンの超可積分的変形を構成的に生成する手順を確立すること。
• 古典的ハミルトニアン系における余代数的対称性と準最大超可積分性の一般的な関係を明確にすること。
• 余代数的代数的対称性を新たな機構として導入し、可積分的変形を構築する枠組みを拡張すること。
• 標準的対称性を超えた可積分系へ量子変形技術を適用する可能性を示すこと。

提案手法

• 原始的コプロダクト Δ(Xi) = Xi⊗1 + 1⊗Xi を持つ sl(2) ポアンソンコペアを用い、ハミルトニアン関数の反復コプロダクトにより N 粒子系のハミルトニアンを構成する。
• 非標準的量子変形（例：変形パラメータ z を用いる）を sl(2) に適用し、(2N−2) 個の関数的に独立な運動積分を保存する SW ハミルトニアンの可積分的変形の族を導出する。
• ある変形のスタッケル分離可能性を証明し、スタッケルの定理と行列 B の逆行列を用いて追加の N−1 個の運動積分を構成可能であることを示す。
• A がポアンソン＝ホプフ代数であるとき、coaction φ: V → V⊗A を通じて余代数的代数的対称性を導入し、標準的余代数的対称性では到達できない新しい可積分的変形の構築を可能にする。
• 非標準的シュレーディンガー代数 hσ6 の変形を用いて、N=2 の SW 系の特定の変形を構成し、シンプレクティック実現により、中心力項に b1 のみが寄与する新しい可積分ハミルトニアンを導出する。
• z→0 または σ→0 の極限において、変形系が元の SW ハミルトニアンおよびその標準的運動積分に還元されることを示し、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sl(2) ポアンソンコペアの量子変形は、スモロディンスキー＝ワインターニュイスト ハミルトニアンの超可積分的変形を生成するためにどのように利用可能か？
• RQ2 左および右コプロダクトは、(2N−2) 個の関数的に独立な運動積分を持つ準最大超可積分系を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 余代数的代数的対称性は、標準的余代数的対称性では到達できない新たな可積分的変形を提供できるか？
• RQ4 どのような条件下で変形ハミルトニアンは分離可能であり、スタッケルの定理を用いて追加の運動積分を構成できるか？
• RQ5 変形パラメータが 0 に近づく極限における変形運動積分の構造は何か？ また、元の系にどのように回復されるか？

主な発見

• 非標準的量子変形を用いた sl(2) の変形を適用することで、N 粒子のスモロディンスキー＝ワインターニュイスト ハミルトニアンの可積分的変形の族が構成され、(2N−2) 個の関数的に独立な運動積分が保存された。
• そのうちの一つの変形について、スタッケル分離可能性が証明され、行列 B の逆行列を用いて明示的に N−1 個の運動積分が構成可能である。この積分の成分 aij は双曲線関数および指数関数的要因で表される。
• N=2 の場合の変形ハミルトニアンは、H(2)σ = 1/2(p1² + p2²) + b1/q1² + q1²/2(1+σλ₂p₂)² + q2²/2 + 高次の σ 項 として明示的に導出され、中心力項に寄与するのは b1 のみである。
• 余代数的代数的アプローチにより、N=2 SW 系の新たな可積分的変形が得られ、ハミルトニアンは σ に依存し、非自明なコアクション構造を持つが、高次元では中心力項に寄与するのは b1 のみである。
• z→0 の極限において、変形運動積分 (5.10) は元の SW 系の標準的運動積分に還元され、非変形系との整合性が確認された。
• 余代数的対称性は左および右の運動積分集合 C(m) および I(m) を生成し、それらがすべて関数的に独立である場合、両者を併せた系は準最大超可積分系を形成する。