[論文レビュー] Superreplication under Volatility Uncertainty for Measurable Claims

Ariel Neufeld, Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティの不確実性下におけるスーパーレプリケーションの双対性公式を確立し、任意のボレル可測または上半連続的解析的状態のオプションヘッジに必要な最小初期資本が、すべての可能なボラティリティ測度における期待ペイオフの上界として与えられることを証明している。この手法は、従来の結果を拡張し、オプションの準連続性仮定を不要にした。解析的集合論を用い、正のボラティリティを持つブラウン運動マルティンゲール測度のクラスにおける可測性条件の新規な検証を実施している。

ABSTRACT

We establish the duality-formula for the superreplication price in a setting of volatility uncertainty which includes the example of "random G-expectation." In contrast to previous results, the contingent claim is not assumed to be quasi-continuous.

研究の動機と目的

• ボラティリティ不確実性モデルにおけるスーパーレプリケーションの双対性公式を、オプションが準連続でないと仮定しない状況で確立すること。
• デジタル・オプションや実現ボラティリティ・オプションのように準連続でない可測オプションに対しても双対性結果を拡張すること。
• オプションおよび確率測度の集合に関する一般な条件下で、双対性フレームワークのロバストネスを確認すること。
• オプションに連続性仮定を課さずに、スーパーレプリケーション戦略を厳密に構成すること。
• 正のボラティリティを持つブラウン運動マルティンゲール測度の集合（PS）が、重要な可測性および不変性条件（条件A）を満たすことを確認し、これにより解析的集合論を構成に応用可能にする。

提案手法

• 連続パス空間上での非同値マルティンゲール測度の集合 P を用いて、ボラティリティ不確実性を形式化する。
• 各 t および ω に対して、条件 (A) を満たす確率測度の族 {P(s,ω)} を用いて、Et(ξ) = supP∈P(t,ω) EP[ξt,ω] を条件付き非線形期待値として定義する。
• 解析的集合論を用いて、ξ がボレル可測または上半連続的解析的である場合でも、Et(ξ) の可測性を保証する。
• Y を Et(ξ) の右連続版とする。d⟨Y, B⟩ = H d⟨B⟩ を用いてプロセス H を構成し、すべての P ∈ P に対して普遍的に定義された H を保証する。
• PS（正のボラティリティを持つブラウン運動マルティンゲール法）の測度が持つ予測可能表現性を活用し、ドーブ＝マイヤー分解のマルティンゲール部をイト積分として表現する。
• Fatouの補題と EP[ξ|G] による下界を用いて、各 P ∈ P に対して ∫₀ᵀ Hᵤ dBᵤ がスーパーマーティンゲールであることを示すことで、構成された戦略 H が H（許容的）であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準連続でないオプションに対しても、スーパーレプリケーションの双対性公式を拡張できるか？
• RQ2 ξ がボレル可測または上半連続的解析的である場合でも、条件付き非線形期待値 Et(ξ) は可測のままであるか？
• RQ3 正のボラティリティを持つブラウン運動マルティンゲール測度の集合（PS）は、可測かつパスワイズ操作に関して不変であり、条件 (A) を満たすか？
• RQ4 オプションが不連続であっても、P 内のすべての測度に対して同時に有効な普遍的なスーパーレプリケーション戦略 H を構成できるか？
• RQ5 解析的集合および正規条件付き確率分布は、ボラティリティ不確実性下での非線形期待値の構成を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 任意のボレル可測または上半連続的解析的オプション ξ に対するスーパーレプリケーション価格は、x = supP∈P EP[ξ] で与えられ、準連続性仮定なしに成立する。
• 正のボラティリティを持つブラウン運動マルティンゲール法の集合 PS は、条件 (A) を満たしており、これにより条件付き非線形期待値の可測性および一貫性が保証される。
• 右連続版 Yt := Et+(ξ) は、すべての P ∈ P に対して (G+, P)-スーパーマーティンゲールを定義し、ドーブ＝マイヤー分解の適用を可能にする。
• スーパーレプリケーション戦略 H は、d⟨Y, B⟩ = H d⟨B⟩ を用いたパスワイズ構成により得られ、すべての P ∈ P に対して普遍的に定義される。
• 戦略 H は、∫₀ᵀ Hᵤ dBᵤ が各 P ∈ P に対してスーパーマーティンゲールである（EP[ξ|G] による下界と Fatou の補題を満たす）ため、H ∈ H（許容的）である。
• 構成により、双対性フレームワークのロバストネスが確認され、デジタル・オプション、実現ボラティリティ・オプション、最適停止時におけるアメリカン・オプションなど、さまざまなオプションへの拡張が可能である。