[論文レビュー] Supersingular abelian surfaces and Eichler class number formula

Jiangwei Xue, Tse-Chung Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Eichlerの類数公式を、完全に定義された実二次体上の完全に定義されたクaternion代数における任意の $\fl$-順序へ一般化し、有限体 $\fl_p$ 上の上付き特異アーベル曲面の同型類の数を計算する。Brandt行列と表現論的技法を用いて、特に終端代数が実二次体上のクォータニオン代数である例外的な場合を解消する明示的公式を提供する。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field with ring of integers $O_F$, and $D$ be a totally definite quaternion algebra over $F$. A well-known formula established by Eichler and then extended by Körner computes the class number of any $O_F$-order in $D$. In this paper we generalize the Eichler class number formula so that it works for arbitrary $\mathbb{Z}$-orders in $D$. The motivation is to count the isomorphism classes of supersingular abelian surfaces in a simple isogeny class over a prime finite field $\mathbb{F}_p$. We give explicit formulas for the number of these isomorphism classes for all primes $p$.

研究の動機と目的

• 完全に実体上の完全に定義されたクォータニオン代数における任意の $\fl$-順序へのEichlerの類数公式の拡張。
• 固定された同種類において、$\fl_p$-同型類の上付き特異アーベル曲面の数を明示的に数えること。
• 終端代数が実二次体上のクォータニオン代数である場合の解消、これは古典的Deuring理論がカバーしない。
• すべての素数 $p$ に対して同型類の数の完全な公式を提示し、質量項と楕円項を分離すること。

提案手法

• Brandt行列のトレース公式を用いて、完全に実体上の完全に定義されたクォータニオン代数における $\fl$-順序へのEichlerの類数公式の一般化。
• Honda-Tate理論を用いて、$p$-Weil数と $\fl_p$ 上のアーベル多様体の同種類を結びつける。
• Waterhouse理論を用いて、$R_0$-イデアル類と固定された同種類内のアーベル多様体の同型類を関連付ける。
• Brandt行列の表現論的解釈を用いて、類数公式の質量項と楕円項を計算する。
• 最適埋め込みと局所不変量の理論を適用し、グローバル体上でのBrandt行列のトレースを計算する。
• Magmaソフトウェアを用いた明示的計算により、$p < 200$ の素数に対して結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eichlerの類数公式は、完全に実体上の完全に定義されたクォータニオン代数における任意の $\fl$-順序へどのように拡張できるか？
• RQ2 与えられた同種類における $\fl_p$-同型類の上付き特異アーベル曲面の正確な数は何か？
• RQ3 終端代数が実二次体上のクォータニオン代数である場合、類数公式の質量項と楕円項はどのように振る舞うか？
• RQ4 すべての素数 $p$、特に $\fl = \fl_p$ で $F = \fl(\fl{p})$ の例外的ケースにおいて、同型類の数を明示的に表現できるか？
• RQ5 $R_0$-イデアルの類型の構造は何か？ また、順序の類数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、すべての素数 $p$ に対して、$\fl_p$-同型類の上付き特異アーベル曲面の数を明示的に与える公式を提供し、上付き特異楕円曲線に対する古典的公式を一般化する。
• $F = \fl(\fl{p})$ が実二次体である例外的ケースでは、同型類の数は類数公式の質量項と楕円項の和で与えられる。
• 質量項は $\frac{1}{2} \text{Tr}(B)$ として計算され、ここで $B$ はBrandt行列である。楕円項は追加の自己同型を表す。
• 表1〜3は、$5 < p < 200$ で $p \neq 2, 3$ かつ $p \neq 1 \bmod 4$ を満たすすべての素数について、$h(\fl_8)$、$h(\fl_{16})$ および対応する質量項と楕円項を示す。
• $p = 13$ の場合、$R_0$-順序 $\fl_8$ を持つ同種類における同型類の数は $h(\fl_8) = 2$ であり、質量は $5/12$、楕円項は $19/12$ である。
• $p = 193$ の場合、$h(\fl_{16}) = 54$ であり、質量は $49$、楕円項は $5$ である。これは、類数が $p$ と共に著しく増加することを示している。