[論文レビュー] Supersymmetric Boundary Conditions in N=4 Super Yang-Mills Theory

Davide Gaiotto, Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2008

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 82

ひとこと要約

この論文は、${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ理論における半分の超対称性を保つ半BPS境界条件を分類し、スカラー場の極や境界への結合を許容することで、ディリクレ、ノイマン、オリエンタールド条件を一般化する。真空構造を理解する上でナーム方程式の解のモジュライ空間が中心的役割を果たすことが明らかになり、ローレンツ不変性を破るが超対称性を保つ変形を検討し、S双対性の分析に向けた基盤を築く。

ABSTRACT

We study boundary conditions in N=4 super Yang-Mills theory that preserve one-half the supersymmetry. The obvious Dirichlet boundary conditions can be modified to allow some of the scalar fields to have a ``pole'' at the boundary. The obvious Neumann boundary conditions can be modified by coupling to additional fields supported at the boundary. The obvious boundary conditions associated with orientifolds can also be generalized. In preparation for a separate study of how electric-magnetic duality acts on these boundary conditions, we explore moduli spaces of solutions of Nahm's equations that appear in the presence of a boundary. Though our main interest is in boundary conditions that are Lorentz-invariant (to the extent possible in the presence of a boundary), we also explore non-Lorentz-invariant but half-BPS deformations of Neumann boundary conditions. We make preliminary comments on the action of electric-magnetic duality, deferring a more serious study to a later paper.

研究の動機と目的

• ${\cal N}=4$超ヤン・ミルズ理論における半分の超対称性を保つ超対称境界条件を体系的に分類すること。
• スカラー場が極をとることや境界への物質への結合を許容することで、標準的な境界条件（ディリクレ、ノイマン、オリエンタールド条件）を一般化すること。
• 境界が存在する場合に生じるナーム方程式の解のモジュライ空間を解析し、特に超対称真空との関係を明らかにすること。
• ブレーン構成から動機づけられる、ローレンツ不変性を破るが半BPSのノイマン境界条件の変形を検討すること。
• これらの境界条件に電磁双対性がどのように作用するかを理解する基盤を構築すること。詳細な解析は後続論文に譲る。

提案手法

• スピンルーピング表現 $W_8$ の零部分空間を用いて、$\mathfrak{osp}(4|4)$超共形代数の表現論を用いて半BPS境界条件を分類する。
• 超対称性生成子 $\varepsilon$ と $\Gamma'$、$B_2$ 演算子による射影を適用し、$\Gamma^\prime\varepsilon = \pm \varepsilon$ を満たす境界条件を定義することで、NS5-および NS5'-ブレーンに類似した条件を記述する。
• 一般化されたノイマン境界条件の変形を記述するため、$\mathbb{R}^{1,5}$ 上の自己双対な三形式 $q$ を導入する。変形は $\zeta = \sum q_{IJK} \Gamma^{IJK} \eta$ で記述される。
• 極を含むナーム方程式の解のモジュライ空間を、ハイパーカイリィークォータ構成と複素幾何学を用いて解析し、複素リー代数内の共軌道に関連するハイパーカイリィークォーターマニフォールドとして同定する。
• D3ブレーンがD5-またはNS5-ブレーンに終わるブレーン配置を用いて境界条件を構成し、抽象的な場の理論的条件の物理的実現を与える。
• null部分空間 $U \subset W_8$ に対して $F(\mu) = \sum_a \eta^a \zeta_a = 0$ が成り立つ条件を導出し、$f_{ab}$ が対称であることにより内積が消えることを保証し、対称テンソルを用いて最大のnull部分空間を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\cal N}=4$ SYMにおけるディリクレおよびノイマン境界条件は、スカラー場の極や境界への結合を許容することで、半分の超対称性を保つようにどのように一般化できるか？
• RQ2 半分の超対称性を保つ境界条件に対して、超対称真空のモジュライ空間の構造はどのようなものか？ また、ナーム方程式の解とどのように関係しているか？
• RQ3 ローレンツ不変性を破るが半超対称性を保つノイマン境界条件の変形はどのように生じるか？ その場の理論的およびブレーン的実現は何か？
• RQ4 自己双対な三形式 $q$ は、一般化された半BPS境界条件をパラメータ化する上で果たす役割は何か？ また、ブレーンの交差や双対性とどのように関係するか？
• RQ5 境界条件は電磁双対性の下でどのように変化するか？ その双対モジュライ空間の幾何的構造は何か？

主な発見

• ディリクレ境界条件に対しては、超対称真空のモジュライ空間が、極をもつナーム方程式の解の空間に同型であり、複素リー代数の共軌道によってパラメータ付けられるハイパーカイリィークォーターマニフォールドである。
• 半分の超対称性を保つ境界条件は、最大のnull部分空間 $U \subset W_8$ によって分類され、一般には対称テンソル $f_{ab}$ あるいは $\mathbb{R}^{1,5}$ 上の自己双対三形式 $q$ によってパラメータ付けられる。
• ローレンツ不変性を破るノイマン境界条件の変形は、自己双対三形式 $q$ によってパラメータ付けられ、超対称性を保つための条件 $\zeta = \sum q_{IJK} \Gamma^{IJK} \eta$ が成立する。
• スカラー場に極をもつ境界条件の真空構造は、正則特異点をもつナーム方程式によって記述され、モジュライ空間は極項を含むハイパーカイリィークォータ構成として得られる。
• 極をもつディリクレ境界条件の $S$-双対は、同じゲージ群を持つ境界超共形場理論と結合したノイマン条件であり、境界条件間の双対性を示唆する。
• 極をもつナーム方程式の解のモジュライ空間の複素構造は、複素リー代数内の共軌道の空間に同型であり、特にノルム型および半単純軌道が特別な場合として含まれる。