[論文レビュー] Supersymmetric gauge theories on the lattice: Pfaffian phases and the Neuberger 0/0 problem

Dhagash Mehta, Simon Catterall+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、格子上の2次元 ${\cal N}=(2,2)$ supersymmetric Yang-Mills理論におけるフェルミオンの符号問題を調査し、指数関数的（コンパクト）なゲージリンクパラメータ化を用いる場合にNeuberger $0/0$ 問題が原因で符号問題が生じることを示している。非コンパクトパラメータ化に切り替えることで、粗い格子でも符号問題が解消されることを示しており、符号問題が格子形式におけるBecchi-Rouet-Stora-Tyutin対称性の破綻と関連している理論的説明を提供している。

ABSTRACT

Recently a class of supersymmetric gauge theories have been successfully implemented on the lattice. However, there has been an ongoing debate on whether lattice versions of some of these theories suffer from a sign problem, with independent simulations for the ${\cal N} = (2, 2)$ supersymmetric Yang-Mills theories in two dimensions yielding seemingly contradictory results. Here, we address this issue from an interesting theoretical point of view. We conjecture that the sign problem observed in some of the simulations is related to the so called Neuberger 0/0 problem, which arises in ordinary non-supersymmetric lattice gauge theories, and prevents the realization of Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry on the lattice. After discussing why we expect a sign problem in certain classes of supersymmetric lattice gauge theories far from the continuum limit, we argue that these problems can be evaded by use of a non-compact parametrization of the gauge link fields.

研究の動機と目的

• 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ SYMにおけるフェルミオンの符号問題の原因を、格子上でのシミュレーション結果の矛盾から解明すること。
• 符号問題がゲージリンクパラメータ化の方法に依存するかどうかを特定すること、特に指数関数的（コンパクト）な表現と非コンパクト表現を比較すること。
• この理論における符号問題が、格子上でのBRST対称性を妨げるNeuberger $0/0$ 問題の拡張であるという仮説を検証すること。
• 非コンパクトなゲージリンクパラメータ化が符号問題を回避できることを示し、信頼性の高い格子シミュレーションを可能にすること。

提案手法

• 著者たちはフェルミオン行列のPfaffianを用いて格子上の分配関数を分析し、符号問題はPfaffianの位相に起因することを明らかにした。
• 指数関数的（コンパクト）な表現と非コンパクトな表現の2種類のゲージリンクパラメータ化を比較した。後者はリー代数上に存在し、群の位相的性質の問題を回避する。
• 反周期的フェルミオン境界条件を用いた位相クエンチドモンテカルロシミュレーションを実施し、Pfaffianの平均位相角 $\alpha$ を測定した。
• 場のフラクチュエーションを安定化させ、$\mu \to 0$ への外挿を可能にするために、質量項 $\mu \sum_n \text{Tr}[(U_a^\dagger({\bf n})U_a({\bf n}) - 1)^2]$ を導入した。
• 次元なしの結合定数 $\kappa = (NT^2)/(2\lambda\beta^2)$ を用い、格子サイズ $L = T$ を2から12に変化させ、連続極限に近づけることを目的とした。
• 符号問題の深刻さを定量化するために、Pfaffian位相 $\alpha$ および $\langle |\sin \alpha| \rangle$ のヒストグラムを計算した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 ${\cal N}=(2,2)$ SYMにおけるフェルミオンの符号問題は、ゲージリンク場のパラメータ化に依存するか？
• RQ2 指数関数的ゲージリンクを用いたシミュレーションで観測される符号問題は、Neuberger $0/0$ 問題の現れ方であるか？
• RQ3 非コンパクトなゲージ場のパラメータ化により符号問題を回避できるか？
• RQ4 非コンパクト形式における符号問題の不在は、超対称ゲージ理論の非摂動的研究への有効な道筋を示唆するか？

主な発見

• 非コンパクトなゲージリンクパラメータ化では、粗い格子（$L=2$）でも符号問題は観測されず、$\langle |\sin \alpha| \rangle$ が安定的かつ小さいことが示された。
• 指数関数的（コンパクト）なパラメータ化では、連続極限から離れるほど深刻な符号問題が顕在し、大きなフラクチュエーションと非ゼロの平均位相角によって裏付けられた。
• 指数関数的ケースにおける符号問題は、有限な格子間隔で最も顕著であり、連続極限に近づくと徐々に弱まる。これはNeuberger $0/0$ 問題が格子上の人工的要因であることに合致する。
• 非コンパクトパラメータ化は、群多様体に起因する位相的障害を回避するため、Neuberger $0/0$ 問題に関連する符号問題を回避する。
• 結果は、このクラスの格子SUSY理論における符号問題が、Neuberger $0/0$ 問題の拡張であるという仮説を支持している。
• 数値的シミュレーションにより、符号問題がパラメータ化に依存することを確認した。非コンパクト場は、有限な格子間隔でも信頼性の高いシミュレーションを可能にした。