[論文レビュー] Supersymmetric gauge theories, quantisation of moduli spaces of flat connections, and Liouville theory

Jörg Teschner|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、クラスSに属する4次元N=2超対称ゲージ理論、リーマン面への平坦なPSL(2,R)-接続の接続空間の量子化、および2次元リウヴィル conformal field theoryの間の深い関係を確立する。AGT対応は、超対称ウィルスン-'t Hooftループ演算子の代数と、接続空間上のトレース関数の代数の同型から生じ、オメガ変形による非可換性が接続空間の量子化と一致し、リウヴィル理論におけるコンフォーマルブロックがこの代数の量子表現を実現する。

ABSTRACT

This is the 11th article in the collection of reviews "Exact results in N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J. Teschner. It describes an approach to understanding the 4d/2d relations discovered by Alday, Gaiotto and Tachikawa by establishing a triangle of relations between the zero mode quantum mechanics obtained by localisation of class $\cal S$ theories, the quantum theory obtained by quantisation of Hitchin moduli spaces, and conformal field theory.

研究の動機と目的

• リーマン面上の平坦接続の接続空間の量子化の観点からAGT対応を説明すること。
• 超対称ウィルスンおよび't Hooftループ演算子が生成する代数が、平坦なPSL(2,R)-接続の接続空間上のトレース関数の代数と一致することを特定すること。
• オメガ変形におけるこの代数の非可換性が、ポアソン構造とシンプレクティック形式で定義された接続空間の量子化と一致することを示すこと。
• フォック＝ゴンチャロフ座標 (X_e) とポアソン括弧 {X_e, X_f} = n_{e,f} X_e X_f を用いた量子代数の構成、ここで n_{e,f} は符号付きで共有される面の数を数える。
• リウヴィル理論におけるコンフォーマルブロックが、量子トレース関数代数の自然な表現空間として実現されることを示すこと。構造定数は接続空間のポアソン代数と一致する。
• S-duality とデーン回転を用いて、同じゲージ理論の異なるラグランジュアン記述を関連させること。結合定数 τ はモジュラー変換によって関連づけられる。

提案手法

• 複素構造モジュライ τ でパrameter化された、リーマン面 C 上に定義された (SU(2))^h のゲージ群と (SU(2))^n のフレーバー対称性を持つクラスSゲージ理論の使用。
• 超対称ループ演算子の代数が、平坦なPSL(2,R)-接続の接続空間 M_flat 上のトレース関数の代数と一致することの特定。
• オメガ変形におけるループ演算子代数の非可換性が、ポアソン構造とシンプレクティック形式で定義された M_flat の量子化と一致することの証明。
• フォック＝ゴンチャロフ座標 (X_e) とポアソン括弧 {X_e, X_f} = n_{e,f} X_e X_f を用いた量子代数の構成、ここで n_{e,f} は符号付きで共有される面の数を数える。
• リウヴィル理論におけるコンフォーマルブロックが、量子トレース関数代数の表現空間として実現されること。構造定数は接続空間のポアソン代数と一致する。
• S-duality とデーン回転を用いて、同じゲージ理論の異なるラグランジュアン記述を関連させること。結合定数 τ はモジュラー変換によって関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=2ゲージ理論における超対称ループ演算子の代数は、平坦接続の接続空間上のトレース関数の代数とどのように関係するか？
• RQ2 ゲージ理論におけるオメガ変形と平坦接続の接続空間の量子化との間の明確な対応関係は何か？
• RQ3 リウヴィル理論におけるコンフォーマルブロックは、トレース関数代数の量子表現をどのように実現するか？
• RQ4 AGT対応は、ループ演算子、接続空間幾何、および超対称性の相互作用からどのように生じるか？
• RQ5 クラスS理論の低エネルギー有効作用は、4次元楕円体上でのループ演算子期待値からどのように再構成可能か？

主な発見

• 超対称ウィルスンおよび't Hooftループ演算子が生成する代数は、リーマン面 C 上の平坦なPSL(2,R)-接続の接続空間上のトレース関数の代数と同型である。
• オメガ変形によって導入される非可換性は、ポアソン構造とシンプレクティック形式で定義された接続空間の量子化と正確に一致する。
• トレース関数 L_γ におけるポアソン括弧は {L_γ₁, L_γ₂} = L_{A(γ₁,γ₂)} で与えられ、A は反対称な滑らか化作用素であり、アティヤ＝ボットのシンプレクティック構造と一致する。
• フェンケル＝ニーレンベルク座標 (l,k) はダーブォー座標であり、{l,k} = 2 を満たす。フォック＝ゴンチャロフ座標におけるポアソン構造は {X_e^τ, X_f^τ} = n_{e,f} X_e^τ X_f^τ である。
• リウヴィル理論のコンフォーマルブロックは、量子トレース関数代数のユニタリ表現を提供し、構造定数は多項式関係 P(L_s, L_t, L_u) = 0 と一致する。
• AGT対応は、ループ演算子代数と量子接続空間の間の同型、保存された超対称性、およびS-duality に由来し、低エネルギー有効作用はループ期待値から再構成可能である。