[論文レビュー] Supersymmetric quantum solution for FRW cosmological model with matter

J. Socorro|ArXiv.org|Aug 9, 2001

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バロトropicな完全流体を伴うFRW宇宙論的モデルにWittenの超対称的量子力学を適用し、パラメータ $ p = -\frac{1}{2} $ を固定することにより因子順序の曖昧さを解消し、閉形式での正確な量子波動関数解を導出する。超対称的アプローチにより、ゼロエネルギーの基底状態が得られ、これは最低次のWKB近似と一致し、物質場を含む量子宇宙論の整合的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Using technique of supersymmetric quantum mechanics we present new cosmological quantum solution, in the regime for FRW cosmological model using a barotropic perfect fluid as matter field.

研究の動機と目的

• FRW宇宙論的モデルに物質を含む場合のホイーラー＝デイト方程式における因子順序の曖昧さを解消すること。
• Wittenの超対称的量子力学の枠組みを適用し、非負のエネルギーを持つスーパーハミルトニアンを構成すること。
• ボソン的およびフェルミオン的フォック空間の両領域における波動関数の正確な量子解を導出すること。
• 超対称性を用いて因子順序パラメータ $ p $ を固定する基準を確立すること。
• 正確な超対称的解が最低次のWKB近似と一致することを示し、量子的および半古典的領域を結ぶこと。

提案手法

• バロトropicな完全流体を物質場とするFRW計量のADMラグランジアンを構成する。
• ADM形式から正準ハミルトニアンおよびホイーラー＝デイト方程式を導出する。
• 超電荷 $ Q $ および $ \bar{Q} $ を導入し、正定値エネルギーを持つ超対称的ハミルトニアン $ H_{ss} = \frac{1}{2}Q^2 $ を構成する。
• 超ポテンシャル $ \Sigma(A) $ を用いてハミルトニアンを因数分解し、1次方程式 $ Q|\Psi\rangle = 0 $、$ \bar{Q}|\Psi\rangle = 0 $ を解く。
• 波動関数をGrassmann変数を用いて $ \Psi = \mathcal{u}_+ + \mathcal{u}_- \theta^0 $ の形に表現し、微分方程式により成分を解く。
• Grassmann積分の規則を適用して確率密度 $ |\Psi|^2 = \mathcal{u}_{0+}^2 + \mathcal{u}_{0-}^2 $ を計算し、ボソン的およびフェルミオン的領域からの寄与が等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FRW宇宙論におけるホイーラー＝デイト方程式の因子順序の曖昧さは、超対称的量子力学を用いてどのように解消できるか？
• RQ2 波動関数の正確な量子解を構成する際、超ポテンシャル $ \Sigma(A) $ が果たす役割は何か？
• RQ3 このモデルにおいて、正確な超対称的解がなぜ最低次のWKB近似と一致するのか？
• RQ4 超対称的枠組みは、ゼロエネルギーの基底状態の存在をどのように保証するか？
• RQ5 Grassmann拡張されたフォック空間における全波動関数の構造は何か？ また、確率密度はどのように計算されるか？

主な発見

• 因子順序パラメータは $ p = -\frac{1}{2} $ に固定され、条件 $ -f(A)\frac{df}{dA} = p $ を用いてハミルトニアンにおける曖昧さが解消される。
• 空のおよび埋められたフェルミオン的フォック空間領域における正確な量子解は、$ |\Psi_\pm\rangle = e^{\pm\Sigma}|\pm\rangle $ であり、1次方程式から導出される。
• 解 $ \mathcal{u}_\pm = \mathcal{u}_{0\pm} e^{\pm i\int \frac{1}{\sqrt{A}} D_A\Sigma \, dA} $ は閉形式で表され、超対称性の制約を満たす。
• 正確な解は最低次のWKB近似と一致しており、超対称的真空が半古典的極限に近いまま保たれることを示している。
• 確率密度は $ |\Psi|^2 = \mathcal{u}_{0+}^2 + \mathcal{u}_{0-}^2 $ であり、ボソン的およびフェルミオン的成分からの寄与が等しいことが示される。
• 超電荷 $ Q $ および $ \bar{Q} $ はそれぞれ $ Q = -\left(\sqrt{A}\frac{d}{dA} + iD_A\Sigma\right)\frac{d}{d\theta^0} $、$ \bar{Q} = \theta^0\left(\sqrt{A}\frac{d}{dA} - iD_A\Sigma\right) $ として明示的に構成され、ハミルトニアンの因数分解を可能にする。