[論文レビュー] Supporting Lemmas for RISE-based Control Methods

Rushikesh Kamalapurkar, Rosenfeld, Joel A.+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Advanced Control Systems Optimization参考文献 16被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、摂動を伴う非線形系における漸近的安定性を保証するロバスト・インテグラル・オブ・サインム・オブ・エラー（RISE）制御手法の基盤をなす基本的補題について、厳密な数学的証明を提供する。非滑らか解析および測度論を用いて、リャプノフ基盤の安定性解析に不可欠な積分的性質とルベーグ測度の条件の妥当性を確立する。

ABSTRACT

A class of continuous controllers termed Robust Integral of the Signum of the Error (RISE) have been published over the last decade as a means to yield asymptotic convergence of the tracking error for classes of nonlinear systems that are subject to exogenous disturbances and/or modeling uncertainties. The development of this class of controllers relies on a property related to the integral of the signum of an error signal. A proof for this property is not available in previous literature. The stability of some RISE controllers is analyzed using differential inclusions. Such results rely on the hypothesis that a set of points is Lebesgue negligible. This paper states and proves two lemmas related to the properties.

研究の動機と目的

• RISE制御器設計に用いられる基本的積分的性質 ∫₀ˣ f′(y)sgn(f(y))dy = |f(x)| − |f(0)| の、アクセス可能な証明の欠如を解消すること。
• f(x) = 0 かつ f′(x) ≠ 0 を満たす点の集合がルベーグ測度ゼロであるという仮説の妥当性を検証すること。これは非滑らか安定性解析に不可欠である。
• リャプノフ基盤の安定性解析における、厳密に増加するバウンディング関数の存在を構成的証明すること。
• 先行研究で形式的証明なしに使用されてきた性質を、理論的基盤として厳密に確立することにより、RISEベースの制御の理論的基盤を強化すること。

提案手法

• 基本定理と局所的絶対連続性を用いて、補題1を証明し、[0,x] 上での f′(y)sgn(f(y)) の積分が |f(x)| − |f(0)| に等しいことを示す。
• 支配収束定理を適用して、ステップ関数の近似列が sgn(f(y)) に収束することを正当化する。
• 測度論的議論を用いて、連続的に微分可能な f に対して、集合 {x | f(x) = 0 ∧ f′(x) ≠ 0} がルベーグ測度的に無視可能であることを証明する。
• 平均値の定理とコーシー＝シュワルツの不等式を用いて、‖f(x)−f(xd)‖ をバウンディングする厳密に増加する関数 ρ(‖x−xd‖) を構成する。
• 有界集合上の上界を定義して、G₂ と G₃ を構成し、ρ(‖x−xd‖) = G₃(‖x−xd‖, r) + ‖x−xd‖ と定義する。
• ρ が厳密に増加しており、すべての x ∈ D および xd ∈ Br に対して、‖f(x)−f(xd)‖ ≤ ρ(‖x−xd‖)‖x−xd‖ を満たすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ局所的絶対連続な f に対して ∫₀ˣ f′(y)sgn(f(y))dy = |f(x)| − |f(0)| が成り立つのか？
• RQ2 連続的に微分可能な関数 f に対して、集合 {x | f(x) = 0 ∧ f′(x) ≠ 0} がどのような条件下でルベーグ測度ゼロになるのか？
• RQ3 すべての x ∈ D および xd ∈ Br に対して、‖f(x)−f(xd)‖ ≤ ρ(‖x−xd‖)‖x−xd‖ を満たすような厳密に増加する関数 ρ が存在可能か？
• RQ4 積分的性質と測度条件をどのように形式的に証明すれば、RISE制御器の安定性解析を支持できるか？
• RQ5 リャプノフ解析におけるRISE制御器の厳密に増加するバウンディング関数を生成する構成的メソッドは何か？

主な発見

• 補題1が厳密に証明された：任意の局所的絶対連続関数 f: ℝ₊ → ℝ に対して、∫₀ˣ f′(y)sgn(f(y))dy = |f(x)| − |f(0)| が成り立つ。
• 任意の連続的に微分可能な f に対して、集合 {x | f(x) = 0 ∧ f′(x) ≠ 0} はルベーグ測度ゼロである。これは非滑らか安定性解析における重要な仮説の妥当性を裏付ける。
• 証明により、f のゼロ集合は閉集合であり、f′ による前像は可算であることが示され、ルベーグ測度の下で零集合であることが示唆される。
• すべての x ∈ D および xd ∈ Br に対して、‖f(x)−f(xd)‖ ≤ ρ(‖x−xd‖)‖x−xd‖ を満たすような厳密に増加する関数 ρ を構成的に定義する方法が提示された。
• 関数 ρ(‖x−xd‖) は、G₃(‖x−xd‖, r) + ‖x−xd‖ として明示的に定義され、G₃ は有界勾配の上界として定義され、厳密な単調増加性を保証する。
• これらの結果は、RISEベースの制御における理論的ギャップを埋め、先行研究で形式的証明なしに使用されてきた性質に対する正式な根拠を提供する。