[論文レビュー] Sur la cohomologie des systèmes locaux sur les espaces des modules des courbes de genre 2 et des surfaces abéliennes

Carel Faber, Gerard van der Geer|ArXiv.org|May 6, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、 genus 2 曲線およびアーベル・サーフェスのモジュライ空間上の局所系のモチーフ的オイラー特徴量を計算し、イーゼンシュタイン・コホモロジーの明示的公式と、エンドスコピック寄与の予想的公式を提示する。有限体上の点数を用いて、特に低重みにおけるコhomological不変量の明示的公式を導出し、算術幾何学およびモジュラー表現論によって検証する。

ABSTRACT

We consider the cohomology of local systems on the moduli space of curves of genus 2 and the moduli space of abelian surfaces. We give an explicit formula for the Eisenstein cohomology and a conjectural formula for the endoscopic contribution. We show how counting curves over finite fields provides us with detailed information about Siegel modular forms.

研究の動機と目的

• genus 2 曲線および principally polarized アーベル・サーフェスのモジュライ空間上の局所系のモチーフ的オイラー特徴量を計算すること。
• 算術幾何学および自動形式の技法を用いて、これらの空間のイーゼンシュタイン・コホモロジーの明示的公式を導出すること。
• 有限体上の点数とモジュラー形式論を用いて、$ \mathcal{A}_2 $ のコホモロジーにおけるエンドスコピック寄与の予想的形を提示すること。
• 有限体上での曲線の算術的数え上げと、2次シーゲルモジュラー形式の構造を結びつけること。
• コンパクトなコホモロジーの局所系の明示的公式を提示し、低重みにおいて検証すること。

提案手法

• 著者たちは、混合ホッジ構造またはチャウ・モチーフのグロテンディーク群におけるモチーフ的オイラー特徴量 $ e_c({\frak A}_2, {V}_{l,m}) = \sum (-1)^i [H^i_c({\frak A}_2, {V}_{l,m})] $ を用いる。
• 彼らは分解 $ H^*_c = H^*_! + \text{Eis} $ を適用し、内部コホモロジー写像の余核としてイーゼンシュタイン・コホモロジーを分離する。
• 彼らは、ハードラー、ピンク、シュヴェルマーによる算術群のイーゼンシュタイン・コホモロジーおよびシーゲルモジュラー形式に関する研究の技法を用いる。
• 彼らは、有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上での genus 2 曲線の点数を用いて $ e_c({\cal M}_{2,n}) $ を計算し、それをコホモロジカル不変量と結びつける。
• 彼らは、特にイグーサの生成子およびツァスマの次元公式を含む既知のシーゲルモジュラー形式の結果を用いて、コホモロジカルデータを解釈する。
• 彼らは $ e_c({\cal M}_{2,10}) $ および $ e_c({\cal M}_{2,16}) $ の公式を検証し、それらをタート・モチーフ $ L $、モジュラー形式 $ S[k] $、および $ S[6,8] $ を用いて表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所系のモジュライ空間上の genus 2 曲線およびアーベル・サーフェスにおけるイーゼンシュタイン・コホモロジーの明示的構造は何か？
• RQ2 有限体上での genus 2 曲線の点数は、$ \mathcal{M}_2 $ 上の局所系のモチーフ的コホモロジーにどのように反映されるか？
• RQ3 $ \mathcal{A}_2 $ における $ V_{l,m} $ 係数のコホモロジーにおけるエンドスコピック寄与の予想的形は何か？
• RQ4 2次シーゲルモジュラー形式は、モジュライ空間のコホモロジカル不変量を解釈し、検証するためにどのように用いられるか？
• RQ5 小さな $ n $ における $ \mathcal{M}_{2,n} $ の正確なモチーフ的オイラー特徴量は何か？ そして、既知のモチーフにどのように分解されるか？

主な発見

• イーゼンシュタイン・コホモロジーには明確な公式が存在する：$ e_{\rm Eis}({\cal A}_2, {V}_{l,m}) = s_{l-m+2} - s_{l+m+4}L^{m+1} + \begin{cases} S[m+2]+1 & l \text{ even}, \\ -S[l+3] & l \text{ odd} \end{cases} $、ここで $ s_n $ は $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z}) $ に対する重み $ n $ のパラボリックモジュラー形式の次元を表す。
• $ l = m > 0 $ の場合、$ m $ が偶数である可能性のある予期しない $ L $-関数のキャンセルが生じるため、公式は例外を除いて成立する。
• モチーフ的オイラー特徴量 $ e_c({\cal M}_{2,10}) $ は $ L $ および $ S[12] $ の多項式として明示的に計算され、次数 13 まで係数が得られる。
• $ e_c({\cal M}_{2,16}) $ の公式には $ A(L) $、$ B(L) $、$ C(L) $、$ D(L) $、および $ e_c({\cal M}_2, {V}_{11,5}) $ が含まれており、後者は $ -S[6,8] - (L+1)S[12] - (L^5 + \cdots + 2) $ として表される。
• 本稿は $ S_{6,8} $ が1次元であることを確認し、16次元のラティスから構成された非自明な形式 $ F \in S_{6,8} $ を明示的に提供する。
• この手法により、$ n \leq 16 $ に対して $ e_c({\cal M}_{2,n}) $ が成功裏に計算され、エンドスコピック部分は既知であり、完全な特徴類が特定された。