[論文レビュー] Sur la densité des représentations cristallines du groupe de Galois absolu de Q_p

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、半単純なガロア表現 $ {Gal}(ar{bQ}_p/bQ_p) \to {GL}_d(ar{bQ}_p)$ をパラメータ化する $p$-進解析的空間の多くの既約成分において、クリスタリン表現のザリスキ・デュアリティを確立している。これは、Colmez と Kisin の $d=2$ の結果を拡張するものである。ロバ・環上のフレームドで正則な三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の普遍族とフォンタイン・ヘアコhomology を用いて、ゲイユールドの理論の局所的類似を構成する。

ABSTRACT

Let X_d be the p-adic analytic space classifying the d-dimensional (semisimple) p-adic Galois representations of the absolute Galois group of Q_p. We show that the crystalline representations are Zarski-dense in many irreducible components of X_d, including the components made of residually irreducible representations. This extends to any dimension d previous results of Colmez and Kisin for d = 2. For this we construct an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context, based on a study of analytic families of trianguline (phi,Gamma)-modules over the Robba ring. We show in particular the existence of a universal family of (framed, regular) trianguline (phi,Gamma)-modules, as well as the density of the crystalline (phi,Gamma)-modules in this family. These results may be viewed as a local analogue of the theory of p-adic families of finite slope automorphic forms, they are new already in dimension 2. The technical heart of the paper is a collection of results about the Fontaine-Herr cohomology of families of trianguline (phi,Gamma)-modules.

研究の動機と目的

• 次元 $d=2$ におけるクリスタリン表現の密度結果を任意の $d$ に拡張すること。
• コールマンのモジュラー形式の $p$-進族理論に類似した、三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の局所的 $p$-進族理論を構築すること。
• ロバ・環上に、フレームドで正則な三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の普遍族の存在を確立すること。
• この普遍族において、クリスタリン $(\varphi,\Gamma)$-加群がザリスキ・デュアリティを満たすことの証明。
• $p$-進ガロア表現の文脈において、固有曲線理論の局所的類似を提供すること。

提案手法

• 変形論を用いて、ロバ・環上にフレームドで正則な三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の普遍族を構成する。
• フォンタイン・ヘアコhomology を適用して、三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の族とそのクリスタリン特化を研究する。
• ゲイユールドの無限のフランネル構成を用いる。
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実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリスタリン表現の集合は、半単純なガロア表現をパラメータ化する $p$-進解析的空間 $\mathfrak{X}_d$ の既約成分において、ザリスキ・デュアリティをもつのか。
• RQ2 任意の $d$ に対して、ロバ・環上にフレームドで正則な三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の普遍族を構成できるか。
• RQ3 この普遍族において、クリスタリン $(\varphi,\Gamma)$-加群はザリスキ・デュアリティを満たすのか。
• RQ4 局所的文脈における無限のフランネル構成は、クリスタリン点がデュアリティをもち、集積する構造をもたらすのか。
• RQ5 三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群を用いて、次元 $d > 2$ の $p$-進族理論のガロア表現への拡張は可能か。

主な発見

• フレームドで正則な三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の普遍族において、クリスタリン加群はザリスキ・デュアリティを満たす。
• 任意の $d$ に対して、$ {Gal}(ar{bQ}_p/bQ_p)$ の残値が既約なガロア表現の普遍変形環に関連する剛体解析的空間 $X$ に対して、有限次拡大 $L$ が存在し、$X(L)$ 内のクリスタリン点が $X$ においてザリスキ・デュアリティをもち、集積する。
• この文脈における無限のフランネル構成は、滑らかで $4$ 次元の $p$-進解析的空間 $S$ として実現され、$X$ への写像 $ {\pi}: S \to X$ を持ち、$ {\pi}(S)$ はすべてのクリスタリン点を含む。
• 非例外的なクリスタリン点 $x \in X$ に対して、$S$ 内には正確に二つの逆像が存在し、それらは $S$ においてザリスキ・デュアリティをもち、各点のファイバー内でのデュアリティを保証する。
• 写像 $ {\pi}: S \to X$ は局所的に解析的埋め込みであり、非例外的クリスタリン点を通過する二つのクリスタリン点の族は混同されない。これは、コールマンの $p$-進モジュラー形式の二つの族の局所的類似を反映している。
• 三角的 $(\varphi,\Gamma)$-加群の族のフォンタイン・ヘアココホモロジーは、クリスタリン特化のデュアリティを証明する技術的基盤を提供し、$d=2$ の結果を任意の $d$ に一般化する。