[論文レビュー] Sur le nombre d'intervalles dans les treillis de Tamari

Frédéric Chapoton|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2006

Language, Linguistics, Cultural Analysis参考文献 5被引用数 49

ひとこと要約

本稿では、区間の再帰的分解を用いて、Tamariラティスにおける区間の閉形式の列挙を提供し、『新規区間』——アソシアヘドロンの低次元面に含まれない区間——の概念を導入する。全区間数および新規区間数の明示的公式を導出し、木インデックス付き級数との関係を確立するとともに、双子の生成関数の逆を、木インデックス付き形式的級数群における双子の代数的構造に基づいて計算する。

ABSTRACT

We enumerate the intervals in the Tamari lattices. For this, we introduce an inductive description of the intervals. Then a notion of "new interval" is defined and these are also enumerated. A a side result, the inverse of two special series is computed in a group of tree-indexed series.

研究の動機と目的

• すべての $n \geq 1$ に対して、Tamariラティス $Y_n$ における区間の数を列挙すること。
• アソシアヘドロンの低次元面に由来しない『新規区間』——それらが含まれる部分複体が真の部分複体でない区間——を定義し、再帰的帰納的構成を用いて数えること。
• 木インデックス付き形式的級数の群における特別な生成関数の逆を計算すること。この群は区間列挙の根拠をなす。
• 区間列挙と平面地図列挙との間の関係を、共通する組合せ的数列を通じて確立すること。
• 左端長パラメータ $x$ を用いた精製生成関数を用いて、$Y_n$ における区間数の閉形式公式を提供すること。

提案手法

• 上界 $T$ の左端長 $\mathsf{L}(T)$ を重みとして用いる精製生成関数 $\Phi(x,y)$ を導入し、$Y_n$ における区間数を追跡する。
• $\Phi$ に対する関数方程式を導出：$\Phi = x^2y(1 + \Phi/x)(1 + (\Phi - \phi)/(x - 1))$、ここで $\phi$ は通常の生成関数である。
• $\phi$ が $x$ に依存しないことの不変性を用いて、$\Phi$ を決定する微分方程式を導出する。
• 『新規区間』を、アソシアヘドロンの任意の真の部分複体に含まれない区間と定義し、根付き木との間の双対写像を用いて、それらの生成関数 $\psi$ を構成する。
• 木に基づく分解を適用し、生成関数 $\psi$ を根付き木 $A$ に関する和として表現し、基本的系列 $\nu$ の微分を含む寄与項を含める。
• 偏微分方程式 $\partial_z \boldsymbol{\Psi} = (\partial_y \boldsymbol{\Psi}) \boldsymbol{\Psi}$ を満たす二重生成関数 $\boldsymbol{\Psi}(z,y)$ を導入し、$\nu$ に関する代数的方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tamariラティス $Y_n$ における区間数の閉形式公式は何か？
• RQ2 アソシアヘドロンの低次元面に含まれない『新規区間』——それらが含まれる部分複体が真の部分複体でない区間——をどのように特徴づけ、数え上げることができるか？
• RQ3 区間の生成関数の代数的構造は何か？また、木インデックス付き形式的級数群における特別な級数の逆とどのように関係するか？
• RQ4 左端長を追跡する精製生成関数 $\Phi(x,y)$ は、全区間数をどのように符号化し、閉形式公式にどのように導くか？
• RQ5 Tamariラティスにおける区間列挙と特定の種類の平面地図列挙との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• Tamariラティス $Y_n$ における区間数は、閉形式公式 $|\mathcal{I}_n| = \frac{2(4n+1)!}{(n+1)!(3n+2)!}$ で与えられる。
• Tamariラティス $Y_n$ における『新規区間』の数は、$\sum_{T \in P_n} N_T$ で与えられ、ここで $P_n$ は $n+1$ 個の葉を持つ平面木の集合であり、$N_T = \prod_{s \in \text{int}(T)} N_{v(s)-2}$ で、$N_k = \frac{2(4k+1)!}{(k+1)!(3k+2)!}$ である。
• 新規区間数の生成関数 $\nu(y)$ は代数的方程式 $16\nu^2 - (1 - 12y - 8y^2)\nu + y^2 - 11y^3 - y^4 = 0$ を満たし、閉形式として $\nu = \frac{1}{32}\left(-1 + 12y + 8y^2 + \sqrt{(1 - 8y)^3}\right)$ となる。
• 木インデックス付き形式的級数群における二つの特別な級数の逆が計算され、区間の再帰的構造を導出する上で中心的な役割を果たした。
• 精製生成関数 $\Phi(x,y)$ は関数方程式を満たし、これを解くことで $|\mathcal{I}_n|$ の閉形式公式が得られる。
• 先行研究 [3] で指摘された共通する組合せ的数列を通じて、Tamari区間列挙と平面地図列挙との間の関係が確認された。