[論文レビュー] Sur quelques repr\\'esentations potentiellement cristallines de GL_2(Q_p)

Laurent Berger, Breuil, C.|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、ℚₚ上の2次元の絶対的単純なp進ガロア表現Vに対して、それがℚₚのアーベル拡大上でクリスティンになること、かつφ-半単純であることと仮定し、GL₂(ℚₚ)のp進バナッハ空間表現B(V)を構成する。(φ,Γ)-モジュールおよびワッハモジュールを用いて、B(V)が非零であり、位相的に単純かつ適切であることを証明し、GL₂(ℚₚ)におけるp進ラングランズ対応への重要な一歩を確立する。

ABSTRACT

To each 2-dimensional irreducible p-adic representation of Gal(Qpbar/Qp) which becomes crystalline over an abelian extension of Q_p, we associate a Banach space B(V) endowed with a linear continuous unitary action of GL_2(Q_p). When V is moreover phi-semi-simple, we use the (phi,Gamma)-module and the Wach module associated to V to show that the representation B(V) is nonzero, topologically irreducible and admissible.

研究の動機と目的

• ℚ̄ₚ上の2次元の絶対的単純で、φ-半単純なp進ガロア表現Vに対して、GL₂(ℚₚ)のp進バナッハ空間表現B(V)を構成すること。
• φ-半単純性の条件下で、B(V)が非零であり、位相的に単純かつ適切であることを証明すること。
• ワッハモジュール理論を潜在的クリスティンな設定に拡張し、B(V)*とD(V)の射影極限とのBorel-不変同型を確立すること。
• B(V)をℚₚ上の連続関数の空間として、特定の成長条件を満たすものとして明示的な実現を与えること。
• p進ラングランズプログラムを支援するために、自然な表現のクラスについて、非消滅性、単純性、適切性という重要な予想を検証すること。

提案手法

• GL₂(ℚₚ)作用に関して不変な安定的ラティスを用いて、局代数的表現Alg(V)と滑らかで単純な表現Lisse(V)のテンソル積のp進完備化としてB(V)を定義する。
• Vに付随する(φ,Γ)-モジュール理論を用いて、B(V)およびその双対の構造を分析する。
• ワッハモジュール理論を潜在的クリスティンな場合にまで拡張し、フィルター付きφ-モジュールD_cris(V)を記述する。
• C^r関数およびr階の分布を用いて、B(V)の中間的記述をℚₚ上の連続関数の空間として構成する。
• (φ,Γ)-モジュール構造を用いて、双対B(V)*とD(V)内のψ-適合な有界列の射影極限とのBorel-不変同型を確立する。
• 双対表現の構造を分析し、射影極限との同型を活用することで、位相的単純性および適切性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℚ̄ₚ上の2次元の絶対的単純で、φ-半単純な潜在的クリスティンなp進ガロア表現Vに対し、対応するp進バナッハ表現B(V)は非零のままであるか？
• RQ2 B(V)はGL₂(ℚₚ)-表現として位相的に単純であるか？（つまり、自明でない閉じた不変部分空間を持たないか？）
• RQ3 B(V)はシュナイダーとタイテルバウムの意味で適切であるか？（すなわち、滑らかなベクトルのなす部分空間が局所有限次元表現をなすか？）
• RQ4 B(V)の双対は、(φ,Γ)-モジュールおよびワッハモジュールを用いて明示的に記述可能か？
• RQ5 代数的部と滑らかな部のテンソル積によるB(V)の構成は、バナッハ空間設定において、適切に定義され、GL₂(ℚₚ)作用に関して不変な表現をもたらすか？

主な発見

• Vがℚₚのアーベル拡大上でクリスティンになり、φ-半単純である2次元の絶対的単純なp進ガロア表現であるとき、表現B(V)は非零である。
• B(V)はGL₂(ℚₚ)-表現として位相的に単純であり、自明でない閉じた不変部分空間をもたない。
• B(V)は適切である。すなわち、滑らかなベクトルのなす部分空間が局所有限次元であり、p進表現論における適切表現の定義を満たす。
• 双対表現B(V)*は、(φ,Γ)-モジュールD(V)内のψ-適合な有界列の射影極限と同型であり、Borel-不変同型が確立される。
• B(V)をℚₚ上の連続関数の空間としての明示的実現が可能であり、p進関数解析の応用を容易にする。
• 証明は、ワッハモジュール理論を潜在的クリスティンな場合にまで拡張することに依拠しており、Vのフィルター付きφ-モジュール構造の解析を可能にする。