[論文レビュー] Surface group representations in PU(p,q) and Higgs bundles

Steven B. Bradlow, Oscar Garcı́a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$\mathrm{PU}(p,q)$-表現のモジュライ空間の位相を、Higgs フィールドの $L^2$-ノルムをモース・ボット関数として用いることで研究する。局所的最小値が正則な三重体のモジュライ空間として特定され、各トポロジカル不変量が互いに素である条件を満たす場合、それに対応する成分は空でなく、連結であり、基本領域内の格子点を用いた完全な連結成分の数え上げがなされる。

ABSTRACT

Using the L^2 norm of the Higgs field as a Morse function, we study the moduli spaces of U(p,q)-Higgs bundles over a Riemann surface. We require that the genus of the surface be at least two, but place no constraints on (p,q). A key step is the identification of the function's local minima as moduli spaces of holomorphic triples. In a companion paper "Moduli spaces of holomorphic triples over compact Riemann surfaces" (math.AG/0211428) we prove that these moduli spaces of triples are non-empty and irreducible. Because of the relation between flat bundles and fundamental group representations, we can interpret our conclusions as results about the number of connected components in the moduli space of semisimple PU(p,q)-representations. The topological invariants of the flat bundles are used to label subspaces. These invariants are bounded by a Milnor-Wood type inequality. For each allowed value of the invariants satisfying a certain coprimality condition, we prove that the corresponding subspace is non-empty and connected. If the coprimality condition does not hold, our results apply to the closure of the moduli space of irreducible representations. This paper, and its companion mentioned above, form a substantially revised version of math.AG/0206012.

研究の動機と目的

• 表面群の基本群の半単純な $\mathrm{PU}(p,q)$-表現のモジュライ空間の位相を理解すること。
• モジュライ空間上の $\mathrm{U}(p,q)$-Higgs バンドルにおける Higgs フィールドの $L^2$-ノルムを用いて、モジュライ空間の連結成分を研究するためのモース理論を適用すること。
• モース関数の局所的最小値を正則な三重体のモジュライ空間として同定し、Higgs バンドルの安定性と表現論の間の関係を確立すること。
• 次数とトゥーリング不変量などのトポロジカル不変量を用いて、互いに素の制約の下で表現多様体の連結成分を分類すること。
• 各許容される不変量によってラベル付けられた成分が空でなく連結であることを証明し、有界領域内の整数格子点を用いた完全な数え上げを行うこと。

提案手法

• モジュライ空間上の $\mathrm{U}(p,q)$-Higgs バンドルにおける Higgs フィールドの $L^2$-ノルムを、適切なモース・ボット関数として用いる。
• 安定性条件とゲージ理論的構成を活用して、この関数の局所的最小値を正則な三重体のモジュライ空間と特定する。
• 平坦な $\mathrm{U}(p,q)$-バンドルと $\mathrm{PU}(p,q)$-表現の間の対応を用いて、結果を表現多様体に翻訳する。
• トポロジカル不変量のための基本領域 $\Omega$ を $(a,b)$-平面上に特徴づけ、ミルナー＝ウッド不等式によって境界が定義される。
• $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 内の格子点の数え上げを用いて連結成分を分類し、定数のトゥーリング不変量 $t$ をパラメータとする直線 $l_t$ を用いる。
• 成分が既約表現に対応するための条件を特定するため、$\mathrm{GCD}(a+b, n/k) = 1$ の形の互いに素条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面群の半単純な $\mathrm{PU}(p,q)$-表現のモジュライ空間には、いくつの連結成分が存在するか？
• RQ2 表現多様体の連結成分をラベル付けるトポロジカル不変量は何であり、どの値が許容されるか？
• RQ3 Higgs フィールドの $L^2$-ノルムがどのようにモース関数として機能し、モジュライ空間の位相を特定するか？
• RQ4 どのような条件下で、既約な $\mathrm{PU}(p,q)$-表現のモジュライ空間が空でなく連結であるか？
• RQ5 トゥーリング不変量と正則な三重体のモジュライ空間の構造との関係は何か？

主な発見

• 基本領域 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 内の各整数点 $(a,b)$ に対して、$\mathrm{PU}(p,q)$-表現のモジュライ空間に対応する連結成分が存在する。
• 連結成分の数は、$\Omega_{\mathbb{Z}}$ 内の整数点の集合と一対一対応し、これはミルナー＝ウッド不等式によって有界である。
• $(a,b) \in \Omega_{\mathbb{Z}}$ でラベル付けされた各成分は、$k = \mathrm{GCD}(p,q)$ であるとき、$\mathrm{GCD}(a+b, n/k) = 1$ を満たす限り空でなく連結である。
• $\mathrm{GCD}(a+b, n/k) \neq 1$ である場合、対応する成分は既約表現のモジュライ空間の閉包に対応する。
• 関連する線形バンドルの次数 $d = a + b$ は $-n(g-1) \leq d < n$ を満たし、このようなすべての値が実現可能である。
• 各固定されたトゥーリング不変量 $t$ に対して、$l_t \cap \Omega_{\mathbb{Z}}$ に正確に $k = \mathrm{GCD}(p,q)$ 個の整数点が存在し、各直線上で $a+b$ と $n$ の互いに素性が一様である。