[論文レビュー] Surfaces with parallel mean curvature in $\mathbb{C}P^n imes\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}H^n imes\mathbb{R}$

Dorel Fetcu, Harold Rosenberg|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、コシミプティック空間形式、特に $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ および $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$ における平均曲率ベクトルが平行な（pmc）表面に対して、全純な二次形式微分を導入する。非最小な反対称pmc 2次元球面が、4次元空間形式と $\mathbb{R}$ の積に含まれることを証明し、それぞれの次元が最大11または5に制限されるcodimension低減定理を確立する。

ABSTRACT

We consider surfaces with parallel mean curvature vector (pmc surfaces) in $\mathbb{C}P^n imes\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}H^n imes\mathbb{R}$, and, more generally, in cosymplectic space forms. We introduce a holomorphic quadratic differential on such surfaces. This is then used in order to show that the anti-invariant pmc $2$-spheres of a $5$-dimensional non-flat cosymplectic space form of product type are actually the embedded rotational spheres $S_H^2\subset\bar M^2 imes\mathbb{R}$ of Hsiang and Pedrosa, where $\bar M^2$ is a complete simply-connected surface with constant curvature. When the ambient space is a cosymplectic space form of product type and its dimension is greater than $5$, we prove that an immersed non-minimal non-pseudo-umbilical anti-invariant $2$-sphere lies in a product space $\bar M^4 imes\mathbb{R}$, where $\bar M^4$ is a space form. We also provide a reduction of codimension theorem for the pmc surfaces of a non-flat cosymplectic space form.

研究の動機と目的

• 高codimensionおよび非ユークリッド的環境におけるpmc表面の研究を拡張し、特に複素および双曲的積空間において行う。
• cmc表面理論で用いられる全純な二次形式微分のアプローチを、コシミプティック空間形式におけるpmc表面へ一般化する。
• $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ および $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$ における非最小な反対称pmc 2次元球面を分類し、それらが低次元の積空間に含まれることを示す。
• 非平坦なコシミプティック空間形式におけるpmc表面に対してcodimension低減定理を確立し、環境次元を最大11または5に制限する。

提案手法

• コシミプティック空間形式におけるpmc表面に全純な二次形式微分 $Q$ を導入し、平均曲率ベクトルが平行であるとき、その $(2,0)$-部が全純であることを証明する。
• リッチ方程式およびほぼ複素構造 $\varphi$ の性質を用いて、特徴的ベクトル場 $\xi$ の法成分および接成分を分析する。
• 平行な部分束および不変部分多様体の理論を適用し、曲率作用素に関して不変で平行な $T\Sigma^2 \oplus L$（$L$ は法束の部分束）が成り立つことを示す。
• $\varphi$ が $T\Sigma^2 \oplus L$ に対して直交性を保つことを利用し、次元が最大5の反対称的で、平行かつ不変な部分多様体を構成する。
• [10] および [14] の結果を用いて、$Q$ および $Q'$ の $(2,0)$-部が消える非擬代数的反対称pmc表面に対して、環境次元を最大5に低減する。
• Alencar, do Carmo, Tribuzy [5] の分類結果を適用し、$\bar{M}^4(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$ における埋め込み回転対称cmc球面を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非最小な反対称pmc 2次元球面が $\mathbb{C}P^n \times \mathbb{R}$ や $\mathbb{C}H^n \times \mathbb{R}$ に低次元の積空間に含まれる条件は何か？
• RQ2 コシミプティック空間形式におけるpmc表面に対して全純な二次形式微分を定義できるか？ その $(2,0)$-部が全純である条件は何か？
• RQ3 非平坦なコシミプティック空間形式における非最小なpmc表面が埋め込まれる最大codimensionは何か？
• RQ4 非最小で非擬代数的反対称pmc表面が $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ に、4次元空間形式と $\mathbb{R}$ の積に含まれる必要があるか？
• RQ5 $M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ に非最小で非擬代数的反対称の適切な斜交pmc 2次元球面は存在するか？

主な発見

• コシミプティック空間形式におけるpmc表面において、全純な二次形式微分 $Q$ の $(2,0)$-部は全純であり、分類のための重要な道具である。
• 非最小な反対称pmc 2次元球面は、$M^2(\rho)\times\mathbb{R}$ において、$\bar{M}^2(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$ に埋め込まれた回転対称cmc球面 $S_H^2$ である。ここで $\bar{M}^2(\frac{\rho}{4})$ は、一定曲率 $\frac{\rho}{4}$ の、完全かつ単連結な表面である。
• 次元が5より大きい環境空間において、非最小で非擬代数的反対称pmc 2次元球面は $\bar{M}^4(\frac{\rho}{4})\times\mathbb{R}$ に含まれる。これは4次元空間形式と $\mathbb{R}$ の積である。
• 非平坦なコシミプティック空間形式の積型において、非最小なpmc表面は、擬代数的でない限り、次元が最大11の完全測地的不変部分多様体に含まれる。
• $Q$ および $Q'$ の $(2,0)$-部が消えるとき、非最小で非擬代数的反対称pmc表面は、次元が最大5の完全測地的反対称不変部分多様体に含まれる。
• 結果 [17] における複素空間形式に関する結果と矛盾するため、$M^n(\rho)\times\mathbb{R}$ に非最小で非擬代数的反対称の適切な斜交pmc 2次元球面は存在しない。