[論文レビュー] SUSY Lattice Vertex Algebras

Reimundo Heluani, Victor G. Kač|ArXiv.org|Oct 8, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は整数格子 $Q$ に関連する $N=1$ スーパーラティス頂点代数 ($\mathrm{V}_Q^{Σuper}$) を構成し、分類する。その結果、$V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$ である普通のラティス頂点代数 $V_Q$ と自由フェルミオン代数 $F(\Pi\mathfrak{h})$ のテンソル積と同型であることが示された。主な結果として、双線形形式 $(a,b)=2ab$ を持つ $Q=\mathbb{Z}$ の場合、$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ は中心指数 $c=3/2$ の単純 $N=3$ スーパーオンフォーマル代数 $V_{3/2}(N3)$ と同型であり、その有理的性が証明された。これは、$V_c(N3)$ が有理的となる唯一の非ゼロ $c$ 値である。

ABSTRACT

We construct and study SUSY lattice vertex algebras. As a simple example, we obtain the simple vertex algebra associated to the vertex algebra $V_c(N3)$ of central charge $c=3/2$, as the SUSY lattice vertex algebra associated to $\mathbb{Z}$ with bilinear form $(a,b) = 2ab$.

研究の動機と目的

• 整数格子 $Q$ に関連する $N=1$ スーパーラティス頂点代数を構成し、特徴づけること。
• 普通のラティス頂点代数 $V_Q$ と自由フェルミオン代数 $F(\Pi\mathfrak{h})$ のテンソル積 $V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$ と $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ の同型を確立すること。ここで $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ であり、パリティを反転させたものである。
• $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ に自然な $N=1$ conformal 構造が存在することを証明し、さらに $\mathfrak{h}$ 上の反対称作用素 $A$ に追加の条件を課すことにより $N=2$ および $N=4$ conformal 構造が存在することを示すこと。
• $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-加群の不変部分空間としての特徴関数と超特徴関数を計算し、それらが上半平面における正則関数の $SL_2(\mathbb{Z})$-不変空間を張ることを示すこと。
• $Q=\mathbb{Z}$ で $(a,b)=2ab$ の双線形形式を持つ場合、$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ が単純 $N=3$ スーパーオンフォーマル代数 $V_{3/2}(N3)$ と同型であることを示し、$V_c(N3)$ の有理的性を証明すること。

提案手法

• 文献 [HK07] で開発された $N_K=1$ SUSY 頂点代数の $\Lambda$-ブラケット形式を用いて、超場を定義し、交換関係を計算する。
• $W=\Pi\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ とし、$\mathbb{C}_\varepsilon[Q]$ を $Q$ のねじれ群代数とする。$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ を $V^1(W) \otimes_{\mathbb{C}} \mathbb{C}_\varepsilon[Q]$ として構成する。
• $\alpha,\beta \in W$ に対して $[\alpha_\Lambda \beta] = (\alpha,\beta)\chi$ および $[h_\Lambda e^\alpha] = (h,\alpha)e^\alpha$ と $\Lambda$-ブラケットを定義し、$W$ が群代数上に作用する様子を記述する。
• $V^1(W)$ 上の作用素 $h_{(j|J)}$ を、$(j|J) \neq (0|0)$ の場合 $h_{(j|J)}(s \otimes e^\alpha) = h_{(j|J)}(s) \otimes e^\alpha$ と $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ 上に拡張する。$(j|J) = (0|0)$ の場合、$h_{(0|0)}(s \otimes e^\alpha) = (h,\alpha)s \otimes e^\alpha$ とする。
• $\mathfrak{h}$ 上の反対称作用素 $A$ で $A^2 = 1$ を満たすものに対して $N=2$ conformal 構造を構成し、$A^i A^j = \sqrt{-1} \varepsilon_{ijk} A^k$ を満たす三重組 $A^i$ を用いて $N=4$ conformal 構造を構成する。
• $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-加群の特徴関数と超特徴関数を計算し、theta 関数のモジュラー性と $\Lambda$-ブラケット形式を用いて $SL_2(\mathbb{Z})$-不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数格子 $Q$ から $N=1$ スーパーラティス頂点代数を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ が普通の頂点代数としての正確な構造は何か？また、$V_Q$ と $F(\Pi\mathfrak{h})$ との関係は？
• RQ3 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ が $N=2$ または $N=4$ スーパーオンフォーマル構造を有するための条件は何か？
• RQ4 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-加群の特徴関数と超特徴関数は何か？それらはモジュラー不変空間をなすか？
• RQ5 $V_{3/2}(N3)$ は有理的か？また、ある格子 $Q$ に対して $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ として実現可能か？

主な発見

• $N=1$ SUSY ラティス頂点代数 $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ は、普通の頂点代数として $V_Q \otimes F(\Pi\mathfrak{h})$ と同型である。ここで $V_Q$ は普通のラティス頂点代数、$F(\Pi\mathfrak{h})$ は $\mathfrak{h}=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}} Q$ でパリティを反転させた自由フェルミオン代数である。
• 任意の格子 $Q$ に対して、$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ は自然な $N=1$ conformal 構造を持つ。
• $\mathfrak{h}$ 上の反対称作用素 $A$ で $A^2 = 1$ を満たすものに対して、$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ は $N=2$ conformal 構造を持つ。
• $\mathfrak{h}$ 上の反対称作用素三重組 $A^i$ で $i \neq j$ のとき $A^i A^j = \sqrt{-1} \varepsilon_{ijk} A^k$ を満たすものに対して、$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ は $N=4$ conformal 構造を持つ。
• $\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$-加群の特徴関数と超特徴関数は、上半平面における正則関数の有限次元 $SL_2(\mathbb{Z})$-不変空間を張る。
• $Q = \mathbb{Z}$ で双線形形式 $(a,b) = 2ab$ の場合、$\mathrm{V}_Q^{\mathrm{super}}$ は単純頂点代数 $V_{3/2}(N3)$ と同型であり、$V_c(N3)$ が $c = 3/2$ で有理的であることを証明した。これは、$V_c(N3)$ が有理的となる唯一の非ゼロ $c$ 値である。