[論文レビュー] Swanson's non-Hermitian Hamiltonian and su(1,1): a way towards generalizations

C. Quesne|arXiv (Cornell University)|May 21, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、su(1,1)代数的構造を用いてスワンソンの非ヒルベルト型ハミルトニアンを再考し、特定の生成子実現に依存しない導出を提供する。su(1,1)の性質を活用することで、PT対称系にとどまらない、ヒルベルト型に類似した一般化された非ヒルベルト型ハミルトニアンの構築が可能となり、量子力学におけるこのようなモデルの範囲が拡張される。

ABSTRACT

The family of metric operators, constructed by Musumbu et al (2007 J. Phys. A: Math. Theor. 40 F75), for Swanson’s PT-symmetric Hamiltonian, is re-examined in the light of an su(1,1) approach. An alternative derivation, only relying on properties of su(1,1) generators, is proposed. Being independent of the realization considered for the latter, it opens the way towards the construction of generalized Swanson’s non-Hermitian (not necessarily PT-symmetric) Hamiltonians related by similarity to Hermitian ones. Some examples of them are reviewed. Short title: Swanson’s non-Hermitian Hamiltonian and su(1,1)

研究の動機と目的

• スワンソンのPT対称ハミルトニアンの計量演算子を、su(1,1)代数的構造を用いて再導出すること。
• su(1,1)生成子の特定の実現に依存しない定式化を構築し、一般性を高めること。
• PT対称系を超えた、より広範な非ヒルベルト型ハミルトニアンのフレームワークへの拡張。
• su(1,1)対称性を用いて、ヒルベルト型に類似した一般化された非ヒルベルト型ハミルトニアンの構築を可能にすること。
• 新しいフレームワーク内での、このような一般化されたハミルトニアンの例のレビューと図示。

提案手法

• su(1,1)生成子の代数的性質を用いて、特定の表現に依存しない計量演算子を導出する。
• 類似変換の概念を適用して、非ヒルベルト型ハミルトニアンとヒルベルト型ハミルトニアンを関連付ける。
• su(1,1)代数の構造を用いて、PT対称系にとどまらない非ヒルベルト型ハミルトニアンのクラスを定義する。
• su(1,1)の交換関係を用いて計量演算子を構築し、正定値内積を保証する。
• 導出された計量演算子が、su(1,1)代数の異なる実現においても一貫していることを示す。
• 代数的フレームワークを用いて、ムスンブらら（2007）の結果をPT非対称系へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スワンソンの非ヒルベルト型ハミルトニアンの計量演算子は、どのようにsu(1,1)代数的性質を用いて再導出できるか？
• RQ2 su(1,1)アプローチは、計量演算子の実現に依存しない定式化をどのように可能にするか？
• RQ3 このsu(1,1)ベースのフレームワークを用いて、PT対称系を超えたどのような非ヒルベルト型ハミルトニアンのクラスを構築できるか？
• RQ4 非ヒルベルト型とヒルベルト型ハミルトニアンの間の類似変換は、どのようにsu(1,1)構造から導かれるか？
• RQ5 この代数的フレームワーク内で、どのように一般化された非ヒルベルト型ハミルトニアンの例を導出し、検証できるか？

主な発見

• スワンソンのハミルトニアンの計量演算子は、特定の実現に依存せずに、su(1,1)生成子の抽象的性質のみを用いて成功裏に再導出された。
• 提案された手法は、選択されたsu(1,1)の実現に依存しないため、多様な非ヒルベルト型系への応用が可能になる。
• このフレームワークにより、PT対称モデルにとどまらない、ヒルベルト型に類似した一般化された非ヒルベルト型ハミルトニアンの構築が可能になった。
• このような一般化されたハミルトニアンの例がレビューされ、アプローチの整合性と一般性が示された。
• su(1,1)の代数的構造は、非ヒルベルト型量子系における計量演算子の特定と物理的整合性の確保という、統一的なメカニズムを提供する。
• この手法により、su(1,1)対称性を用いて、実スペクトルを有する非ヒルベルト型量子モデルを体系的に探求する道筋が確立された。