[論文レビュー] Switchbacks and the Bridge to Nowhere

Leonard Susskind, Ying Zhao|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 118

ひとこと要約

本稿では、純粋状態における片側ブラックホールに対してER=EPR双対性を拡張し、『どこにも繋がらないブリッジ』—時間とともに成長するエインシュタイン＝ローゼンブリッジ（ERB1）を導入する。ニールセンの幾何学的複雑性枠組みを用いて、極値面計算によりERB1体積の線形増加を導出し、量子複雑性の増加と類似した線形増加を示す。これは、エンタングルメントが存在しないにもかかわらず、二側ブラックホールと同様の結果をもたらす。

ABSTRACT

This paper is in three parts: Part 1 explains the relevance of Einstein-Rosen bridges for one-sided black holes. Like their two-sided counterparts, one-sided black holes are connected to ERBs whose growth tracks the increasing complexity of the quantum state. Quantitative solutions for one-sided ERBs are presented in the appendix. Part 2 calls attention to the work of Nielsen and collaborators on the geometry of quantum complexity. This geometric formulation of complexity provides a valuable tool for studying the evolution of complexity for systems such as black holes. Part 3 applies the Nielsen approach to geometrize two related black hole quantum phenomena: the rapid mixing of information through fast-scrambling; and the time dependence of the complexity of precursors, in particular the switchback effect.

研究の動機と目的

• 外部のエンタングルメントが存在しない純粋状態における片側ブラックホールへのER=EPR双対性の一般化を目的とする。
• 境界に固定されたD-2次元球面上の時間スライスに接続する最大時空的超曲面を用いて、片側エインシュタイン＝ローゼンブリッジ（ERB1）の体積を定義および計算する。
• 量子複雑性の時間発展をモデル化するために、ニールセンの幾何学的複雑性枠組みを適用する。
• プリカリティ演算子およびショック波ジオメトリの幾何学を用いて、スイッチバック効果とフェーズスクラムブルの分析を行う。
• ERB1体積が時間とともに線形に増加することを示し、双対CFT状態の複雑性増加と一致させることを目的とする。

提案手法

• ERB1を、AdS内のD-2次元球面上の境界時間スライスに接続する最大体積の時空的超曲面として定義する。
• 二側ERB2の場合と同一の幾何学的式を用い、光的殻を伴うバイドヤ-AdS幾何学における極値面を解く。
• 径方向カットオフまたは真空AdS寄与項の減算により発散する体積を正則化する。
• ニールセンの複雑性幾何学を適用し、ユニタリ操作のリーマン多様体における測地線長さとして複雑性をモデル化する。
• 量子回路モデルおよびショック波ジオメトリを用いてプリカリティ複雑性を分析し、スイッチバック効果を導出する。
• 極値面の時間および面積積分を計算し、3つの領域を特定する：ホライズン付近、r_m = l/√2付近、境界付近。大時間においては領域IIが支配的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部のエンタングルメントが存在しない純粋状態における片側ブラックホールに対して、エインシュタイン＝ローゼンブリッジ（ERB）が存在しうるか？
• RQ2 このような片側ERB（ERB1）の体積は時間とともにどのように変化するか？ そして線形に増加するか？
• RQ3 ニールセンの幾何学的複雑性枠組みは、ブラックホールにおける量子複雑性の増加を正確に記述できるか？
• RQ4 ショック波時空の幾何学から、プリカリティ複雑性におけるスイッチバック効果はどのように生じるか？
• RQ5 ERB1における最大超曲面の漸近的挙動は何か？ また、体積増加の主な寄与をもたらす領域はどれか？

主な発見

• 片側ERB1は時間とともに成長し、遅い時間において体積が線形に増加する。これは双対CFT状態の量子複雑性の増加と整合的である。
• ERB1の遅い時間における極限超曲面は、すべてホライズン内に位置し、r = l/√2におけるハートマン＝マラダーナ表面に指数関数的に時間とともに近づく。
• 大時間において、ERB1体積の主な寄与はr_m = l/√2付近の領域に由来し、表面がその領域に長時間滞在することで時間に比例した線形増加が生じる。
• 最大超曲面の面積は、遅い時間においてA/(2πl²) ∼ t_b/(2l)とスケーリングし、線形複雑性増加を確認する。
• 表面のv座標に関する時間積分は境界で発散するが、表面がv方向に外側に押し出されるため、面積への寄与は有限でありt_bに依存しない。
• スイッチバック効果は、表面がr_m = l/√2付近の表面に長時間滞在するという幾何学的性質によって説明可能であり、非単調な複雑性プロファイルを生じる。