[論文レビュー] SYM-ILDL: Incomplete $LDL^{T}$ Factorization of Symmetric Indefinite and Skew-Symmetric Matrices

Chen Greif, Shiwen He+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

SYM-ILDL は、対称不確定および実スケワ対称行列の不完全 LDLᵀ因子分解を、クルーツ型アルゴリズムと高度なピボット選択（Bunch-Kaufman、ルック）および再順序付け（AMD、RCM）を用いて行う、新しい C++ テンプレートソフトウェアパッケージを提供する。これは、特にルックピボットを用いることで、反復解法における収束性が顕著に向上し、ILUTP よりも約 2/3 のメモリ使用量で実現される。これは、対流拡散問題において顕著な性能向上を示している。

ABSTRACT

SYM-ILDL is a numerical software package that computes incomplete $LDL^{T}$ (or `ILDL') factorizations of symmetric indefinite and real skew-symmetric matrices. The core of the algorithm is a Crout variant of incomplete LU (ILU), originally introduced and implemented for symmetric matrices by [Li and Saad, Crout versions of ILU factorization with pivoting for sparse symmetric matrices, Transactions on Numerical Analysis 20, pp. 75--85, 2005]. Our code is economical in terms of storage and it deals with real skew-symmetric matrices as well, in addition to symmetric ones. The package is written in C++ and it is templated, open source, and includes a MATLAB interface. The code includes built-in RCM and AMD reordering, two equilibration strategies, threshold Bunch-Kaufman pivoting and rook pivoting, as well as a wrapper to MC64, a popular matching based equilibration and reordering algorithm. We also include two built-in iterative solvers: SQMR preconditioned with ILDL, or MINRES preconditioned with a symmetric positive definite preconditioner based on the ILDL factorization.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式の離散化やサドルポイント問題に共通する対称不確定および実スケワ対称行列に対して、堅牢でメモリ効率の良い不完全 LDLᵀ因子分解手法の開発を目的とする。
• 既存の ILU を基盤とするクルーツ型アルゴリズムを、対称性を保つピボット戦略を用いて、不確定およびスケワ対称系に拡張することを目的とする。
• 複数の再順序付け（AMD、RCM）、等化（1-、2-、∞-ノルム）、ピボット選択（Bunch-Kaufman、ルック）技術を統合し、数値的安定性と収束性を向上させることを目的とする。
• MINRES 用に正定値プリコンディショナを ILDL から導出する、および ILDL によって直接プリコンディショニングされる SQMR の2つの組み込み反復解法を提供することを目的とする。
• 高性能な MEX インターフェースを備えた完全なテンプレート化、拡張可能でオープンソースの C++ ライブラリを提供し、科学計算分野における広範な利用可能性を実現することを目的とする。

提案手法

• 対称およびスケワ対称行列に適応された左から見るクルーツ型不完全 LU 因子分解を採用し、$PAP^T = LDL^T$ の形で因子分解の対称性を保証する。
• しきい値に基づく要素の切り捨てとフィルイン制御を実装し、スパarsity を維持しながら数値的安定性を確保する。
• 不確定およびスケワ対称系を扱うために、Bunch-Kaufman およびルックピボット戦略を用い、分解の失敗を回避するとともに条件数を改善する。
• AMD や RCM といった再順序付け技術と、最大ノルム、1-ノルム、2-ノルムを用いた等化技術を統合し、フィルインの低減と収束性の向上を図る。
• HSL_MC64 をラップして、マッチングに基づく高度な再順序付けと等化を統合し、困難な行列に対するロバスト性を向上させる。
• スケワ対称の場合の $2\times2$ ブロック構造を活用し、Gill ら（1992）の手法を対称系に応用することで、MINRES 用の正定値プリコンディショナを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実スケワ対称行列（対角成分がゼロで、$2\times2$ ピボットを必要とする）に対して、クルーツ型不完全 LDLᵀ 因子分解を効果的に拡張できるか？
• RQ2 対流拡散問題において、SYM-ILDL は ILUTP やその他の最先端のプリコンディショナ（例：Scott & Tuma, 2014）と比較して、収束性とメモリ使用量の点で優れているか？
• RQ3 異なるピボット戦略（ルック vs. 部分的）および再順序付け（AMD vs. RCM）が、プリコンディショニングされた反復解法の収束性に与える影響は何か？
• RQ4 等化はスケワ対称行列に対する ILDL の条件数と収束性を改善できるか、それとも三重対角ブロックの構造的優位性により性能を低下させるか？
• RQ5 本手法で導出された正定値プリコンディショナは、本質的に不確定またはスケワ対称な ILDL 因子分解から得られる場合に、MINRES に対してどれほど効果的か？

主な発見

• SYM-ILDL は、フィルインを同等に保ちながら ILUTP よりも顕著に優れた GMRES 収束性を示す：$n=125000$ の場合、ILD-ルックは 6 回の反復で収束したが、ILUTP は 58 回を要した。また、使用メモリは約 2/3 に抑えられた。
• ルックピボット戦略は部分的ピボットより一貫して優れており、大規模な対流拡散問題では反復回数を最大 80% 減少させた。
• スケワ対称行列では、等化が効果的ではなく、むしろ三重対角ブロックの支配的構造のため、性能を劣化させる傾向にあった。したがって、最終的なソルバ設定では等化を無効化した。
• システムのプリコンディショニングされた固有値は 1 のまわりに強くクラスタリングされており、特にルックピボットを用いることで反復解法の収束が著しく速くなった。
• $70^3$ の対流拡散行列において、ILD-ルックは 106.81 秒で 5 回の反復で収束したが、ILUTP は 876 秒以内に収束しなかった。これは、SYM-ILDL のロバスト性を示している。
• MEX インターフェースはネイティブ C++ 版と同等のパフォーマンスを発揮し、パフォーマンス損ないなしに MATLAB ワークフローへのシームレスな統合を可能にした。