[論文レビュー] Symbolic Calculus in Mathematical Statistics: A Review

Elvira Di Nardo|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、RotaとTaylorによって提唱された古典的アンブロ計算に基づく記号的微積分フレームワークをレビューしている。このフレームワークにより、数学的統計における代数的統合とアルゴリズム的計算が可能になる。モーメント、コピュラ、確率過程を記号的アンブロによって表現することで、確率論、統計的推論、特殊関数の間の深い構造的関係が明らかになり、ベル多項式とシェッファー列に基づくアルゴリズム的手法により、モーメント、コピュラ、多次元多項式の効率的記号的計算が可能になる。

ABSTRACT

In the last ten years, the employment of symbolic methods has substantially extended both the theory and the applications of statistics and probability. This survey reviews the development of a symbolic technique arising from classical umbral calculus, as introduced by Rota and Taylor in $1994.$ The usefulness of this symbolic technique is twofold. The first is to show how new algebraic identities drive in discovering insights among topics apparently very far from each other and related to probability and statistics. One of the main tools is a formal generalization of the convolution of identical probability distributions, which allows us to employ compound Poisson random variables in various topics that are only somewhat interrelated. Having got a different and deeper viewpoint, the second goal is to show how to set up algorithmic processes performing efficiently algebraic calculations. In particular, the challenge of finding these symbolic procedures should lead to a new method, and it poses new problems involving both computational and conceptual issues. Evidence of efficiency in applying this symbolic method will be shown within statistical inference, parameter estimation, Lévy processes, and, more generally, problems involving multivariate functions. The symbolic representation of Sheffer polynomial sequences allows us to carry out a unifying theory of classical, Boolean and free cumulants. Recent connections within random matrices have extended the applications of the symbolic method.

研究の動機と目的

• 古典的、ボレル的、自由なコピュラといった、見かけ上異なる確率論および統計学の分野を、記号的代数的枠組みによって統一すること。
• k統計量、ポリケイズ、コピュラなどの統計的量の効率的記号的計算のためのアルゴリズム的手順を開発すること。
• 記号的手法を多次元設定に拡張し、多次元Lévy過程やエルミート／ベルヌーイ多項式を含めること。
• モーメントおよびコピュラ変換のベンチマークを通じて、手法の計算効率を示すこと。
• 複合ポアソン過程およびLévy過程に関連する時空調和多項式の体系的代数的基盤を提供すること。

提案手法

• 記号的手法では、アンブロがモーメントの列を表し、ユニタルな列が期待値に類似した作用素ℰによってαの累乗に写像される。
• シェッファー多項式列を用いて、古典的、ボレル的、自由なコピュラを共通の記号的表現で統一する。
• 補助的アンブロを用いて複合ポアソン過程をモデル化し、ガンマ分布、パスカル分布、ブラウン運動などの過程における時空調和多項式の記号的導出を可能にする。
• 一般化されたベル多項式とラグランジュ逆行列の公式を用いて、モーメントとコピュラの間で閉形式の表現を導出する。
• 多次元ファウ・ディ・ブルーノの公式を記号的に拡張し、Lévy過程およびエルミート／ベルヌーイ族の多次元コピュラおよび多項式を計算する。
• 記号的計算を用いてアルゴリズム的手順を実装し、付録のタイミングテーブルを用いて性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的アンブロ計算は、どのようにして古典的、ボレル的、自由なコピュラを1つの代数的枠組みで統一するか？
• RQ2 記号的手法は、特にモーメントおよびコピュラに関して、計算の効率性と正確性をどのように向上させるか？
• RQ3 記号的アンブロを用いて、さまざまなLévy過程に対する時空調和多項式を体系的に導出するにはどうすればよいか？
• RQ4 シェッファー列と一般化されたベル多項式は、多次元統計関数のアルゴリズム的計算を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 記号的計算は、特にパrameter推定やエッジワース展開において、数値的手法をどの程度置き換えることができるか？

主な発見

• 記号的手法は、シェッファー多項式列を通じて、古典的、ボレル的、自由なコピュラの間の深い代数的関係を明らかにする統一的枠組みを提供する。
• ガンマ、パスカル、ベルヌーイ過程のための時空調和多項式が、記号的アンブロ（例：ガンマ過程のためのt.ū、ランダムウォークのためのn.(-1.ι)）を用いて明示的に導出された。
• この手法により、モーメントからコピュラ、逆にコピュラからモーメントへの効率的アルゴリズム的計算が可能となり、特に第6.2.3節でアベル型コピュラとベル多項式を用いたアルゴリズムが詳細に提示された。
• 付録1の計算ベンチマークでは、従来の手法と比較してk統計量およびポリケイズの記号的計算が顕著に高速化された。
• 多次元ファウ・ディ・ブルーノの公式による多次元Lévy過程の記号的表現により、多次元エルミートおよびベルヌーイ多項式の体系的導出が可能になった。
• 記号的微積分フレームワークは、確率行列に対しても拡張され、古典的統計モデルを超えた広範な適用可能性を示唆している。