[論文レビュー] Symbolic control of stochastic systems via approximately bisimilar finite abstractions

Majid Zamani, Peyman Mohajerin Esfahani+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 33被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、制御された確率的微分方程式でモデル化された確率的システムのための記号的制御フレームワークを提案する。有限状態の抽象化を用い、モーメントの観点からε-近似的に双対同値である。任意のε > 0に対して、確率的増分入力状態安定性（probabilistic incremental input-to-state stability）を満たすいかなるシステムに対しても、有限抽象化が存在することを確立し、複雑な線形時系列論理（LTL）仕様の正しく構築された制御則の合成を、有限状態の合成技術により可能にする。

ABSTRACT

Symbolic approaches to the control design over complex systems employ the construction of finite-state models that are related to the original control systems, then use techniques from finite-state synthesis to compute controllers satisfying specifications given in a temporal logic, and finally translate the synthesized schemes back as controllers for the concrete complex systems. Such approaches have been successfully developed and implemented for the synthesis of controllers over non-probabilistic control systems. In this paper, we extend the technique to probabilistic control systems modeled by controlled stochastic differential equations. We show that for every stochastic control system satisfying a probabilistic variant of incremental input-to-state stability, and for every given precision $\varepsilon>0$, a finite-state transition system can be constructed, which is $\varepsilon$-approximately bisimilar (in the sense of moments) to the original stochastic control system. Moreover, we provide results relating stochastic control systems to their corresponding finite-state transition systems in terms of probabilistic bisimulation relations known in the literature. We demonstrate the effectiveness of the construction by synthesizing controllers for stochastic control systems over rich specifications expressed in linear temporal logic. The discussed technique enables a new, automated, correct-by-construction controller synthesis approach for stochastic control systems, which are common mathematical models employed in many safety critical systems subject to structured uncertainty and are thus relevant for cyber-physical applications.

研究の動機と目的

• 連続時間の確率的制御システムに対して、有限双対同値抽象化が不足している問題に対処すること。
• 従来、非確率的システムに限定されていた記号的制御技術を、構造的不確実性を有する確率的システムへと拡張すること。
• 確率的ダイナミクス上での包括的な時系列論理仕様のための自動的かつ正しく構築された制御則合成を可能にすること。
• 確率的双対同値の概念を用いて、確率的制御システムとその有限状態抽象化との間の形式的定量的関係を確立すること。
• 線形時変動（LTV）確率的システムに対してLTL仕様を満たす制御則の合成を通じて、本手法の実現可能性と有効性を示すこと。

提案手法

• 元の確率的制御システムとモーメントの観点からε-近似的に双対同値である有限状態遷移系（記号的モデル）を構築する。
• δ-ISS-Mq リャプノフ関数を用いて、システムの確率的増分安定性を特徴づけ、抽象化の存在を保証する。
• 採択時間τと状態／入力量子化を適用して、連続状態空間と制御入力空間を離散化し、有限抽象化 Sq(Σ) を形成する。
• 定理5.1の結果を活用して、抽象化がε-近似的双対同値条件を満たすようにするための量子化パラメータηを決定する。
• 有限状態の反応型合成アルゴリズムを用いて、与えられたLTL仕様を満たす記号的モデル用の制御則を計算する。
• 合成された制御則を記号的モデルから元の確率的システムへと精錬し、仕様の満たされる確率的保証を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間の確率的制御システムに対して、時系列論理仕様の制御則の正しさを保持する有限状態抽象化を構築できるか？
• RQ2 確率的システムに対してε-近似的に双対同値な有限抽象化の存在を保証する安定性条件は何か？
• RQ3 確率的設定下で、元の確率的システムとその有限抽象化との関係を形式的に定量的に定式化できるか？
• RQ4 記号的モデルから実システムに制御則を精錬する際、LTL仕様の満たされる確率的保証は何か？
• RQ5 本手法は、非ゼロの制御入力と非同次ダイナミクスを有するシステムに適用可能か？

主な発見

• 任意のε > 0に対して、確率的増分入力状態安定性を満たすシステムであれば、元の確率的制御システムとε-近似的に双対同値である有限状態遷移系を構築可能である。
• ε = 1 および τ = 0.01 の場合、構築された記号的モデルの状態空間の濃度は1,002,001、入力空間は11要素であり、抽象化計算に148.092秒を要した。
• LTL仕様 32W ∧ 2Z（Wに到達し、その状態を維持する一方で、Zに現在いる）の制御則合成に3.88秒を要し、WおよびZへの実測平均距離はε = 1より著しく低い値であった。
• 確率的に少なくとも79%の確率で、記号的モデルでϕを満たす制御則は、無限時間ホライズンにおいて元のシステムで1インフレートされた仕様ϕ1を満たす。
• 与えられたシステム制約下で、離散時間ホライズン{0, 0.01, ..., 1}秒において、確率的に少なくとも70%の確率で、精錬された制御則は1インフレートされた仕様を満たす。
• 本手法により、包括的な時系列論理仕様を有する確率的システムの正しく構築された制御則の合成が可能となり、多数のシミュレーションにより検証された。