[論文レビュー] Symbolic extensions of amenable group actions and the comparison property

Tomasz Downarowicz, Guohua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、可算アーベル群の作用に対して、記号的拡張エントロピー定理（SEET）を確立し、不変測度の単体上の関数が拡張エントロピー関数であるための必要十分条件を示している。その条件は、(X,G) のエントロピー構造の有限アフィン上包（superenvelope）であることである。主な結果として、比較性質（comparison property）を満たす群（例えば、部分指数的群や余有限群）に対し、タイリング系とFølner準タイル化を用いて構築された準記号的拡張を用いて、SEET を拡張している。

ABSTRACT

Symbolic Extension Entropy Theorem (SEET) describes the possibility of a lossless digitalization of a dynamical system by extending it to a subshift. It gives an estimate on the entropy of symbolic extensions (and the necessary number of symbols). Unlike in the measure-theoretic case, where Kolmogorov--Sinai entropy is the estimate, in the topological setup the task reaches beyond the classical theory of entropy. Tools from an extended theory of entropy structures are needed. The main goal of this paper is to prove the SEET for actions of countable amenable groups: Let a countable amenable group $G$ act by homeomorphisms on a compact metric space $X$ and let $\mathcal M_G(X)$ denote the simplex of $G$-invariant probability measures on $X$. A function $E $ on $\mathcal M_G(X)$ equals the extension entropy function $h^π$ of a symbolic extension $π:(Y,G) o (X,G)$, where $h^π(μ)=\sup\{h_ν(Y,G): ν\inπ^{-1}(μ)\}$ ($μ\in\mathcal M_G(X)$), if and only if $E $ is an affine superenvelope of the entropy structure of $(X,G)$. The statement is preceded by presentation of the concepts of an entropy structure and superenvelopes, adapted from $\mathbb Z$-actions. In full generality we prove a slightly weaker version of SEET, in which symbolic extensions are replaced by quasi-symbolic extensions, i.e., extensions in form of a joining of a subshift with a zero-entropy tiling system. The notion of a tiling system is a subject of earlier works and in this paper we review and complement the theory developed there. The full version of the SEET is proved for groups which are either residually finite or enjoy the comparison property. In order to describe the range of our theorem, we devote a large portion of the paper to the comparison property. Our main result in this aspect shows that all subexponential groups have the comparison property (and thus satisfy the SEET).

研究の動機と目的

• 記号的拡張エントロピー定理（SEET）を ℤ-作用から可算アーベル群の作用へ拡張すること。
• 不変測度の単体上の関数が、記号的拡張の拡張エントロピー関数として現れるための条件を同定すること。
• 比較性質が、真正の記号的拡張（準記号的拡張でないもの）を可能にする役割を明らかにし、その役割を研究すること。
• 符号可能タイリング系の理論を構築し、低エントロピーの記号的拡張を構成する応用を示すこと。
• すべての部分指数的群が比較性質を満たすことを示し、それによりこのような群に対してSEETの完全版が成り立つことの証明。

提案手法

• ℤ-作用から一般の可算アーベル群作用へのエントロピー構造と上包の理論を適応する。
• ゼロエントロピーのタイリング系との結合として得られる準記号的拡張を定義し、制御されたエントロピーを持つ記号的拡張の構成を可能にする。
• 完全再認識性と互いに素な性質を持つFølner準タイル化系を導入し、ブロック符号を用いて力学系を符号化する。
• 符号可能タイリング系の概念を導入し、タイリング構造がゼロ位相エントロピーを持つ符号化された符号付近位に符号化可能であることを保証する。
• Banach密度とFølner列を用いて定義される比較性質が、記号的拡張の存在を示すことの根拠となることを証明する。
• 2文字の記号で構成され、位相エントロピーがゼロで、完全に符号可能かつ互いに素なFølner準タイル化系を構成し、最小記号数の符号化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの可算アーベル群に対して、記号的拡張エントロピー定理が完全形で成立するか。
• RQ2 群作用のどの条件下で、不変測度の単体上の関数が記号的拡張の拡張エントロピー関数として現れるか。
• RQ3 タイリング系と準タイル化を用いて、最小エントロピーを持つ記号的拡張をどのように構成できるか。
• RQ4 比較性質と可換群作用における記号的拡張の存在との関係は何か。
• RQ5 部分指数的群や余有限群などの群のクラスは、比較性質を満たすか。それらはSEETの完全版を許容するか。

主な発見

• 関数 $ E_{\text{A}} $ が単体 $ \fancyscript{M}_G(X) $ 上で定義されており、記号的拡張の拡張エントロピー関数であるための必要十分条件は、(X,G) のエントロピー構造の有限アフィン上包であることである。これにより、比較性質を満たす群に対してSEETの完全版が確立された。
• すべての余有限群と部分指数的群に対して、SEETの完全版が成立し、それらが比較性質を満たすことが示された。
• すべての部分指数的群は比較性質を満たし、それによりエントロピー構造の上包と正確に一致するエントロピーを持つ記号的拡張が存在することが示された。
• 2文字の記号で構成され、位相エントロピーがゼロで、完全に符号可能かつ互いに素なFølner準タイル化系が存在し、最小記号数の符号化を可能にする。
• 比較性質はBanach密度とFølner列を用いて特徴づけられ、群論的基準として記号的拡張の存在を保証する。
• 準記号的拡張（ゼロエントロピーのタイリング系との結合）を用いて、一般にSEETの弱い形を証明した。完全な定理の成立には、比較性質が必要である。