[論文レビュー] Symmetric and Asymptotically Symmetric Permutations

Joshua Cooper, Andrew Petrarca|ArXiv.org|Jan 28, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、対称的かつ漸近的に対称的な置換について調査し、置換内のパターン数が一様なランダム分布下での期待値に正確に一致する条件を焦点とする。『膨張可能（inflatable）』な置換の概念を導入し、置換の縮約を用いたパターン統計の再帰的公式を導出し、正確なk-対称性が可能となるのはk! が二項係数C(n,k)を割り切る場合に限られ、k=4の場合の最小nは64であることを証明した。

ABSTRACT

We consider two related problems arising from a question of R. Graham on quasirandom phenomena in permutation patterns. A ``pattern'' in a permutation $σ$ is the order type of the restriction of $σ: [n] o [n]$ to a subset $S \subset [n]$. First, is it possible for the pattern counts in a permutation to be exactly equal to their expected values under a uniform distribution? Attempts to address this question lead naturally to an interesting number theoretic problem: when does $k!$ divide $\binom{n}{k}$? Second, if the tensor product of a permutation with large random permutations is random-like in its pattern counts, what must the pattern counts of the original permutation be? A recursive formula is proved which uses a certain permutation ``contraction.''

研究の動機と目的

• 置換が一様なランダム分布下での期待値と正確に一致するすべてのk-パターンタイプのカウントを達成できるかどうかを特定すること。
• 置換パターンにおける上向きの含意問題（上位のパターン統計が一様であるか）を調査すること。これは準ランダムグラフと類似しており、k-パターンのカウントが一様であれば、(k+1)-パターンのカウントも一様であるか。
• k-対称な置換の存在に必要な十分条件を特定すること。特に、k! | C(n,k) という可除性条件に注目する。
• ランダム置換による膨張された置換におけるパターン統計を再帰的に計算する方法を開発し、置換の縮約に基づく公式に導くこと。
• 非自明なk-対称な置換が存在しうる最小のn = f(k)を計算すること。k=8まで明示的な値を算出。

提案手法

• 大きなランダム置換とのテンソル積において、ランダムに似たパターン統計を保持する『膨張可能（inflatable）』な置換の概念を導入する。
• 置換の『縮約』操作を用いて、パターンの出現回数を再帰的に計算する公式を開発する。
• 置換π ∈ Π^τ_tとその対応する商τ/πの表を用いた母関数のアプローチにより、パターン数を計算する。
• 係数が分割におけるブロックサイズの階乗に基づく、Y_τ(m) = m^k / (k!)^2 - Σ項（より小さいパターンρのY_ρを含む）の公式を適用する。
• すべての素数pに対してν_p(n(n-1)...(n-k+1)) ≥ 2e_p(k)を満たすp進付値を用いて、可除性条件k! | C(n,k)を分析する。
• 可除性条件がn mod T(k)にのみ依存する最小のモジュラスT(k)を計算し、alldiv_k(n)を満たす最小のn ≥ kとしてf(k)を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数nとkに対して、二項係数C(n,k)をk!で割った値が整数となるのはいつか。これにより、置換における正確なk-対称性が可能になる。
• RQ2 すべてのk-パターンが正確にC(n,k)/k! 回出現するような置換が存在するか。そのような置換が存在するための必要十分条件は何か。
• RQ3 置換におけるk-パターンのカウントが一様であれば、(k+1)-パターンのカウントも一様であると予想されるが、これは準ランダムグラフの事例と同様に成り立つか。
• RQ4 k! がC(n,k)を割り切る最小のn = f(k)は何か。これは非自明なk-対称な置換の存在とどのように関係するか。
• RQ5 ランダム置換によって膨張された置換におけるパターン統計を再帰的に計算する方法は何か。どのような構造がこの再帰的計算を可能にするか。

主な発見

• k=4の場合、C(n,k)/k! が整数となる最小のn ≥ kはn = 64であり、非自明な4-対称な置換の最小候補であることが証明された。
• k=3の場合、非自明な3-対称な置換の存在が確認され、mの関数として各3-パターンタイプの数の明示的公式が提供された。
• 長さmの置換におけるタイプ(1234)の4-パターン数は、Y_{(1234)}(m) = m(m-1)(m² - 11m + 44)/576 で与えられる。
• タイプ(1243)の4-パターン数はY_{(1243)}(m) = m(m-1)(m-2)(m-5)/576 であり、S_4の24通りの置換すべてについて同様の閉形式が導出された。
• 可除性条件k! | C(n,k)がn mod T(k)にのみ依存する最小のモジュラスT(k)が計算され、T(4) = 288、T(5) = 7200 となった。
• alldiv_k(n)を満たす最小のn ≥ kである関数f(k)は、f(1)=1、f(2)=4、f(3)=9、f(4)=64、f(5)=128、f(6)=352、f(7)=1377、f(8)=180225 として計算された。