[論文レビュー] Symmetric and skew-symmetric block-Kronecker linearizations

Heike Faßbender, Javier Pérez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、奇数次または偶数次の行列多項式に対する一元的で構造を保全する枠組みとして、対称および反対称ブロック・クロネッカー線形化を導入する。最小基底ピボットを活用することで、正則性にかかわらず強い線形化を保証し、固有ベクトル、最小指数、基底を直接回復可能とする。Fiedlerピボットの繰り返しを避けるより単純な代替手法を提供するとともに、既知の同伴形式を包含する。

ABSTRACT

Many applications give rise to structured matrix polynomials. The problem of constructing structure-preserving strong linearizations of structured matrix polynomials is revisited in this work and in the forthcoming ones \cite{PartII,PartIII}. With the purpose of providing a much simpler framework for structure-preserving linearizations for symmetric and skew-symmetric matrix polynomial than the one based on Fiedler pencils with repetition, we introduce in this work the families of (modified) symmetric and skew-symmetric block Kronecker pencils. These families provide a large arena of structure-preserving strong linearizations of symmetric and skew-symmetric matrix polynomials. When the matrix polynomial has degree odd, these linearizations are strong regardless of whether the matrix polynomial is regular or singular, and many of them give rise to structure-preserving companion forms. When some generic nonsingularity conditions are satisfied, they are also strong linearizations for even-degree regular matrix polynomials. Many examples of structure-preserving linearizations obtained from Fiedler pencils with repetitions found in the literature are shown to belong (modulo permutations) to these families of linearizations. In particular, this is shown to be true for the well-known block-tridiagonal symmetric and skew-symmetric companion forms. Since the families of symmetric and skew-symmetric block Kronecker pencils belong to the recently introduced set of minimal bases pencils \cite{Fiedler-like}, they inherit all its desirable properties for numerical applications. In particular, it is shown that eigenvectors, minimal indices, and minimal bases of matrix polynomials are easily recovered from those of any of the linearizations constructed in this work.

研究の動機と目的

• 対称および反対称行列多項式の構造的保全線形化のための、より単純で統一的なフレームワークを開発すること。
• DL(P)ピボットやFiedlerピボットの繰り返しといった既存手法の制限を克服するため、ブロック・クロネッカー・ピボットの新クラスを導入すること。
• 特に奇数次の場合に有効な、正則および特異な行列多項式の両方に対して強い線形化を保証すること。
• 複雑な変換を経由せずに、固有ベクトル、最小指数、最小基底を線形化から直接回復可能にする。
• 代表的な同伴形式（例：ブロック三重対角）が、提案された族の特別な場合として得られることを示すこと。

提案手法

• 最小基底ピボットに基づいて導出された、対称および反対称ブロック・クロネッカー・ピボットの2つの新しい族と、その変種を導入する。
• 特定のパターンを有する構造的ブロック行列を用いて線形化を構築し、$ P_k $、$ I_n $、$ ext{sign}( au) I_n $、および $ ext{sign}( au) au I_n $ を含む。ここで $ au = ext{sign}( ext{対称性}) $ である。
• 線形化された逆多項式を元の定義域に戻すために、反転操作 $ ext{rev}P( au) = au^d P(1/ au) $ を適用する。
• 最小基底ピボットおよび強い最小基底ピボットの理論を用いて、構造的および数値的性質を保証する。
• 置換同値性を用いて、既知の同伴形式（例：ブロック三重対角）が、提案された線形化の特別な場合であることを示す。
• 特に、線形化の固有ベクトルの $ (t+1) $ 番目のブロックからのブロック抽出により、明示的な固有ベクトル回復手順を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称および反対称行列多項式の構造的保全線形化のための、統一的かつより単純なフレームワークを構築可能か？
• RQ2 対称および反対称ブロック・クロネッカー線形化は、正則および特異な行列多項式（特に奇数次）に対して強い線形化を提供するか？
• RQ3 これらの線形化は、複雑な変換を経ずに、元の行列多項式の固有ベクトル、最小指数、最小基底を直接回復可能か？
• RQ4 代表的な構造的同伴形式（例：ブロック三重対角）が、この新しいフレームワーク内での特別な場合として回復可能か？
• RQ5 弱い正則性条件のもとで、偶数次の行列多項式に対しても構造的保全の強い線形化を構築可能か？

主な発見

• 提案された対称および反対称ブロック・クロネッカー線形化は、正則性にかかわらず、奇数次の行列多項式に対して強い線形化である。
• 後退係数または先行係数が正則である偶数次の正則行列多項式に対しては、修正されたブロック・クロネッカー線形化が強い線形化を提供する。
• 最も単純な対称および反対称ブロック・クロネッカー線形化は、代表的なブロック三重対角同伴形式の置換版である。
• 行列多項式の固有ベクトルは、線形化の固有ベクトルの $ (t+1) $ 番目のブロックから直接回復可能であり、ここで $ t = d/2 $ は偶数次のときの値である。
• 最小基底構造のおかげで、行列多項式の最小指数および最小基底は、線形化のそれらから容易に回復可能である。
• このフレームワークは、既存のFiedlerピボット（繰り返しを含む）を包含しており、置換の下で提案された族の特別な場合であることが示された。