[論文レビュー] Symmetric extension of bipartite quantum states and its use in quantum key distribution with two-way postprocessing

Geir Ove Myhr|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2011

Quantum Information and Cryptography参考文献 69被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、二粒子量子状態の対称拡張を調査し、対称拡張を持つ状態が古典的である振る舞いを示し、高い誤り率では量子鍵配送（QKD）と不整合であることを示している。任意のこのような状態が純粋な対称拡張状態の凸結合に分解可能であることを証明し、標準的な二方向優位性分散プロトコルが現在の六状態プロトコルの閾値27.6%において対称拡張を破壊できないことを示しており、これ以上の向上はこれらの手法では不可能であることを示している。

ABSTRACT

We investigate which bipartite quantum states admit a symmetric extension and apply the results in the analysis of noise thresholds in quantum key distribution protocols with two-way postprocessing. We find that states that admit a symmetric extension can be decomposed into a convex combination of states that admit a_pure_ symmetric extension. For a state to have a pure symmetric extension, its nonzero eigenvalues must be equal to the nonzero eigenvalues of one of the subsystems. While this does not fully characterize the set of states with a pure symmetric extension in all dimensions, it is a full characterization for two qubits. A conjectured formula characterizing two-qubit states with a (mixed or pure) symmetric extension is presented. Proofs are given for some special classes. For multi-qubit Bell-diagonal states, the symmetric extension is simplified using the symmetries of the states and formulated as a semidefinite program. Quantum key distribution with two-way advantage distillation steps is then analyzed. For the commonly used repetition code advantage distillation, the failure to distill a secret key beyond the currently known noise thresholds is explained by a failure to break a symmetric extension. More general linear advantage distillation schemes are analyzed, but for those schemes analyzed, we find that they tolerate strictly less noise than repetition code advantage distillation before they fail to break a symmetric extension. The results suggest that no other linear advantage distillation scheme can reach the noise threshold of 27.6 % for the six-state protocol which is achieved by repetition code advantage distillation.

研究の動機と目的

• 対称拡張を許容する二粒子量子状態の集合を特徴づけること。これらは古典的である振る舞いを示し、量子的優位性と不整合である。
• 2量子ビット状態が純粋な対称拡張を持つための必要十分条件を特定し、既知のスペクトル的条件を一般化すること。
• 特に高い誤り率におけるBB84プロトコルや六状態プロトコルなどのプロトコルにおいて、対称拡張が量子鍵配送（QKD）に果たす役割を分析すること。
• 二方向優位性分散プロトコルが対称拡張を破壊し、秘密鍵の生成を可能にする効果を評価すること。
• 現在のおよび一般化された二方向分散プロトコルが、六状態QKDプロトコルにおける27.6%の誤り閾値を超えることはできないことを示すこと。

提案手法

• 任意の対称拡張を持つ状態が、純粋な対称拡張を持つ状態の凸結合に分解可能であることを証明する。
• 純粋な対称拡張のための必要条件として、局所的およびグローバルな密度行列のスペクトルが等しいことが示され、2量子ビット系では十分条件でもあることを示す。
• ランク2、対称部分空間、ベル対角、および$S^{/dagger} \otimes S$-不変状態といった特定の状態クラスを分析し、対称拡張の条件について解析的証明を提供する。
• 多量子ビットベル対角状態の対称拡張問題を半定型計画（SDP）に還元し、効率的な数値的解析を可能にする。
• 線形および二次的制約を満たすために、ランク1の更新と対角補正を用いた数値的反復的構成法を提案する。
• 高誤り率状態における対称拡張の除去が可能かどうかをチェックすることで、優位性分散プロトコルの性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2量子ビット量子状態が対称拡張（特に純粋な対称拡張）を持つための必要十分条件は何か？
• RQ2 多量子ビットベル対角状態の対称拡張問題は、取り扱いやすい半定型計画（SDP）に還元可能か？
• RQ3 QKDで用いられる標準的な二方向優位性分散プロトコルは、高誤り率領域における対称拡張を効果的に破壊できるか？
• RQ4 現在の分散プロトコルの一般化は、六状態QKDプロトコルにおける27.6%の誤り閾値を超える可能性があるか？
• RQ5 なぜ対称拡張は、高誤り率QKDシナリオにおける一方向後処理が秘密鍵を生成できない原因となるのか？

主な発見

• 2量子ビット状態では、局所的およびグローバルな密度行列のスペクトルが等しいことは、純粋な対称拡張を持つための必要十分条件である。
• 多量子ビットベル対角状態の対称拡張問題は、半定型計画（SDP）に再定式化可能であり、効率的な数値的検証が可能である。
• 任意の対称拡張を持つ状態は、純粋な対称拡張を持つ状態の凸結合に分解可能である。
• QKDで用いられる標準的な優位性分散ステップは、六状態プロトコルの現在の27.6%の誤り閾値において、対称拡張を破壊できない。
• 現在の優位性分散プロトコルの一般化も、この閾値において対称拡張を破壊できないため、これらの手法では改善が不可能であることが示唆される。
• これは、六状態プロトコルにおける27.6%の閾値が、二方向後処理下での対称拡張の持続性によって根本的に制限されていることを示している。