[論文レビュー] Symmetric product as moduli space of linear representations

Francesco Vaccarino|ArXiv.org|Aug 26, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特性0の体上のアフィンスキーム $X = \mathrm{Spec}\,A$ の $n$-重対称積が、$A$ の $n$-次元線形表現をパラメータ化するスキームの一般線形群 $GL(n,F)$ による商と同型であることを確立する。主な結果は、対称積を記述する不変式環 $(A^{\bigotimes n})^{S_n}$ が、一般化された行列の単項式のトレースによって生成され、その関係はプロセッチの中心多項式によって支配されることを示しており、古典的な対称多項式および行列不変量に関する結果を一般化する。

ABSTRACT

We show that the $n-$th symmetric product of an affine scheme $X=\mathrm{Spec} A$ over a characteristic zero field is isomorphic as a scheme to the quotient by the general linear group of the scheme parameterizing $n-$dimensional linear representations of $A$. As a consequence we give generators and relations of the related rings of invariants as well as the equations of any symmetric products in term of traces. In positive characteristic we prove an analogous result for the associated varieties.

研究の動機と目的

• アフィンスキーム $X = \mathrm{Spec}\,A$ の対称積 $X^{(n)}$ と、基底変換による表現スキームの商 $\mathcal{R}_n(A)//GL(n,F)$ の幾何的同型を確立する。
• 不変式環 $(A^{\otimes n})^{S_n}$ の明示的生成子と関係式を提示し、それらが一般化された行列の単項式のトレースに一致することを特定する。
• 特性0において、$F[x]$ から任意の可換 $F$-代数 $A$ へ、古典的同型 $F[Mat(n,F)]^{GL(n,F)} \cong F[y_1,\dots,y_n]^{S_n}$ を拡張することを目的とする。
• 正標数において、関連する概型に対して類似の結果を、簡約化されたスキームとノイレダルを用いて証明する。
• トレースの恒等式と多項式関係を用いた一様な対称積の記述を提示し、先行する行列不変量に関する結果を一般化する。

提案手法

• 点の関手を用いて、$A$ の $n$-次元表現の不変式環を $V_n(A)$ とし、表現スキーム $\mathcal{R}_n(A)$ を $\mathrm{Spec}\,V_n(A)$ として定義する。
• 自由代数 $F\{x_\omega\}$ の普遍 $n$-次元表現を表す一般化された行列 $\xi_{\omega} \in Mat(n, F[\xi_{ij,\omega}])$ を構成し、$A$ の関係に対応するイデアル $I$ で割る。
• 特に行列式とその完全極化 $\Psi_{\mathbf{1}_n}$ に注目し、極化過程を用いて不変量をトレースの形で表現する。
• プロセッチの中心多項式および $T$-イデアルの理論に依拠し、一般化された行列の単項式のトレースの間のすべての関係が、特性0において $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ によって生成されることを示す。
• 正標数では、簡約化されたスキーム $\mathcal{R}_{n,\text{red}}(A)$ を考察し、同時に上三角化と対角行列への還元を用いて $TS^n_{F}(A)_{\text{red}} \cong V_n(A)^{G}_{\text{red}}$ を証明する。
• ニュートンの恒等式を用いて、固有値の初等対称関数と行列の冪のトレースを関連させ、不変式環のトレースに基づく表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の体 $F$ に対して、アフィンスキーム $X = \mathrm{Spec}\,A$ の対称積 $X^{(n)}$ は、基底変換による $A$ の $n$-次元線形表現の粗モジュライ空間と同型であるか？
• RQ2 $(A^{\otimes n})^{S_n}$ の不変式環は、一般化された $n \times n$ 行列の単項式のトレースのみを用いて提示可能か？その定義関係は何か？
• RQ3 古典的同型 $F[Mat(n,F)]^{GL(n,F)} \cong F[y_1,\dots,y_n]^{S_n}$ は、任意の可換 $F$-代数 $A$ へ拡張可能か？
• RQ4 正標数において、簡約化された対称積と $GL(n,F)$ による表現概形の商との間に類似の同型が存在するか？
• RQ5 一般化された行列の単項式のトレースの間の関係は、プロセッチの中心多項式 $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ の評価と、$A$ を定義するイデアル $I$ からの関係によって生成されるか？

主な発見

• 特性0の体上では、対称積 $X^{(n)} = \mathrm{Spec}\,((A^{\otimes n})^{S_n})$ がスキームとして $\mathcal{R}_n(A)//GL(n,F)$ と同型である。
• 不変式環 $V_n(A)^{GL(n,F)}$ は、一般化された行列 $\xi_{\omega}$ の単項式のトレースによって生成され、関係は $A$ の生成元の像における $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ の評価と、$f \in I$ に対する $\mathrm{tr}(\pi_n^A(f))$ によって生成される。
• 特性0では、$n \times n$ 行列の単項式のトレースの間のすべての多項式的関係が、プロセッチとラズミスロフによって確立された $\Psi_{\mathbf{1}_{n+1}}$ の結果に帰着される。
• 正標数では、同時に上三角化と対角行列への還元を用いて、簡約化されたスキーム $TS^n_F(A)_{\text{red}}$ が $\mathcal{R}_{n,\text{red}}(A)//GL(n,F)$ と同型であることを示す。
• $(A^{\otimes n})^{S_n}$ をトレースの多項式環の商として提示する方法は、任意の可換基底環 $F$ 上で平坦な $A$ に対して有効であり、以前の結果を一般化する。
• 特に平坦な場合に、対称積 $X^{(n)}$ の方程式が、トレースと特性多項式の係数を用いて明示的に記述可能である。