[論文レビュー] Symmetric Spaces in Supergravity

S. Ferrara, Alessio Marrani|ArXiv.org|Aug 26, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 64被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、3次元、4次元、5次元の超重力理論における、非可約リーマン的全域対称空間（IRGS）と超重力理論との間に深い接点を確立し、スカラー多様体および極端ブラックホールのアトラクターのモジュライ空間が、$G/H$ の形のIRGSとして実現されることを示している。ここで $G$ は単純リー群の非コンパクト実形式であり、$H$ はその最大コンパクト部分群である。主な貢献は、$σ$-拡張超重力理論と関連するこれらの対称空間の体系的分類、および3次元および4次元のジョルダン代数との関係である。

ABSTRACT

We exploit the relation among irreducible Riemannian globally symmetric spaces (IRGS) and supergravity theories in 3, 4 and 5 space-time dimensions. IRGS appear as scalar manifolds of the theories, as well as moduli spaces of the various classes of solutions to the classical extremal black hole Attractor Equations. Relations with Jordan algebras of degree three and four are also outlined.

研究の動機と目的

• 3次元、4次元、5次元の$σ$-拡張超重力理論における非可約リーマン的全域対称空間（IRGS）がスカラー多様体として果たす役割を明確化すること。
• これらの超重力理論のグローバル等長群 $G$ とそのスカラー部の対称空間 $G/H$ の間の対応関係を確立すること。
• アトラクター機構を通じて、IRGSと極端ブラックホール解のモジュライ空間との関係を調査すること。
• 特に例外的超重力理論の文脈において、3次元および4次元のジョルダン代数から生じるIRGSを分類すること。
• 4次元超重力理論における電磁双対性が、マクスウェル理論の $SL(2,\mathbb{R})$ 対称性を一般化し、対称空間 $\frac{SO(3,1)}{SO(3)}$ として実現されることを示すこと。

提案手法

• ヘーガソンのIRGS分類を用い、$G$ を単純リー群の非コンパクト実形式とし、$H$ をその最大コンパクト部分群（mcs）とする、商空間 $G/H$ の形の対称空間を扱い、負の定符号を持つ計量を採用する。
• 非線形シグマモデルの枠組みを用いて、超重力理論におけるスカラー場のダイナミクスを記述し、標的空間を $G/H$ とし、等長群 $H$ を $ρ$-対称性に対応させる。
• $d=3,4,5$ における $σ$-拡張超重力理論の構造を解析し、$n>16$ の場合、スカラー多様体が $\frac{G}{H_{\mathcal{R}}}$ として与えられ、物質多重項が含まれる場合には $\frac{G_M}{H_{\mathcal{R}} \otimes H_M}$ となることを示す。
• ジョルダン代数構造 $J_3^\mathbb{A}$ および $J_4^\mathbb{A}$ ($\mathbb{A} = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}, \mathbb{O}$) を用いて、特に例外的超重力理論における対称空間を分類する。
• コスタントの最小共伴軌道およびシンプレクティック誘導の理論を用い、対称空間 $\frac{G}{K}$ とそのコンパクト双対 $X$、および関連するジョルダン代数 $J(X)$ を結びつける。
• $d=4$ 超重力理論では、$G=SL(2,\mathbb{R}) \sim SO(2,1)$ が電磁双対性を実現し、運動方程式が $G$ 変換に対して不変であるが、ラグランジアンは明示的に不変ではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約リーマン的全域対称空間（IRGS）は、$d=3,4,5$ における $σ$-拡張超重力理論のスカラー多様体としてどのように生じるか？
• RQ2 超重力理論のグローバル等長群 $G$ とそのスカラー部の対称空間 $G/H$ の間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 極端ブラックホールのアトラクター解のモジュライ空間は、超重力理論におけるIRGSとどのように関係しているか？
• RQ4 3次元および4次元のジョルダン代数は、例外的超重力理論に現れる対称空間をどのように分類するか？
• RQ5 $d=4$ 超重力理論が電磁双対性を示す理由は何か？ そしてこの対称性はスカラー多様体上のグローバル等長群としてどのように実現されるか？

主な発見

• $d=3,4,5$ における $σ$-拡張超重力理論のスカラー多様体は、非可約リーマン的全域対称空間 $G/H$ として与えられ、$G$ は単純リー群の非コンパクト実形式であり、$H$ はその最大コンパクト部分群である。
• $n>16$（すなわち $σ>16$）の場合、スカラー多様体は $\frac{G}{H_{\mathcal{R}}}$ として一意に定まる。ここで $H_{\mathcal{R}}$ は、$d=3,4,5$ においてそれぞれ $SO(\mathcal{N})$、$U(\mathcal{N})$、$USp(\mathcal{N})$ である $ρ$-対称性群である。
• $d=4$ では、運動方程式が $G=SL(2,\mathbb{R})$ に対して不変であり、これはベクトル場強度に電磁双対性を作用させるが、ラグランジアンは明示的に不変ではない。
• $d=3$ における例外的超重力理論は、$\frac{E_{8(-24)}}{E_7 \otimes SU(2)}$、$\frac{E_{7(-5)}}{SO(12)\otimes SU(2)}$、$\frac{F_{4(4)}}{USp(6)\otimes SU(2)}$ といった対称空間によって分類され、それぞれジョルダン代数 $J_3^\mathbb{O}$、$J_3^\mathbb{H}$、$J_3^\mathbb{C}$ に対応する。
• 対称空間 $\frac{SO(3,1)}{SO(3)}$ は、実次元3の非クaternion的IRGSであり、$SU(2)$ 積極化群を持つすべての対称空間がクaternion的であるとは限らないことを示している。
• ジョルダン代数によるIRGSの分類により、表15に示すように、関連するコンパクト双対 $X$ およびジョルダン代数 $J(X)$ を持つ対称空間 $\frac{G}{K}$ の完全なリストが得られ、$J(X)$ は $J_3^\mathbb{R}$、$J_4^\mathbb{R}$、$J_4^\mathbb{C}$、$J_4^\mathbb{H}$、$J_3^\mathbb{O}$ である。