[論文レビュー] Symmetries and invariance properties of stochastic differential equations driven by semimartingales with jumps

Sergio Albeverio, Francesco C. De Vecchi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴う一般の càdlàg 半マルティンゲールによって駆動される確率微分方程式（SDE）に対して、ゲージ対称性および時間対称性を導入し、非マルコフ型およびジャンプ・ドリフト設定へとリー対称性解析を拡張する。このような対称性により、変換群を用いたSDEの簡約が可能となり、明示的解および不変性の結果が得られ、特にアフィン型のダイナミクス下でCIRおよびベッセル過程の一般化が可能となる。

ABSTRACT

Stochastic symmetries and related invariance properties of finite dimensional SDEs driven by general càdlàg semimartingales taking values in Lie groups are defined and investigated. In order to enlarge the class of possible symmetries of SDEs, the new concepts of gauge and time symmetries for semimartingales on Lie groups are introduced. Markovian and non-Markovian examples of gauge and time symmetric processes are provided. The considered set of SDEs includes affine and Marcus type SDEs as well as smooth SDEs driven by Lévy processes. Non trivial invariance results concerning a class of iterated random maps are obtained as special cases.

研究の動機と目的

• 一般のジャンプ付き半マルティンゲールによって駆動されるSDEに対するリー対称性解析を、非マルコフ型およびアフィン型の過程を含めて拡張すること。
• 特にリー群上の半マルティンゲールに特化した、ゲージ対称性および時間対称性という新しい対称性概念を定義すること。
• 解集合が群作用に対して不変となるようにSDEを変換するための枠組みを確立すること。
• 対称性の決定方程式を導出し、それらを用いて明示的解および不変性の結果を得ること。
• 反復確率的写像および古典的過程（例えばベッセル過程やCIR型拡散過程）に対して、この手法を適用してその有効性を示すこと。

提案手法

• 解 (X, W) とノイズ (Z₁, Z₂) に作用する変換の三つ組 (Φ, B, τ) を導入し、SDEの構造を保存する。
• ノイズ成分 (Z₁, Z₂) における直交群作用 Ξ_B を用いてゲージ対称性を定義する。特に行列値および加法的ジャンプに対して有効である。
• 伊藤積分と二次変動を用いて変換されたSDEを導出し、特に2次元における径方向過程 R_t に対して注目する。
• 群作用によるSDEの解集合の不変性を要求することで、対称性の決定方程式を導出する。
• ODEにおける四則演算による簡約に類似した、対称性群を用いたSDEの簡約を実行する。
• ノイズ測度に関して Ξ_B∗(ν) = ν を要求することで、不変性条件をプッシュフォワードの観点から確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー対称性の概念をジャンプ付き半マルティンゲールによって駆動されるSDEへと一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 変換群がジャンプ・ドリフトSDEの解集合を保存するための条件は何か？
• RQ3 ゲージ対称性および時間対称性を用いてSDEの次元を簡約し、明示的解を得ることは可能か？
• RQ4 ジャンプの存在下で、対称性はベッセル過程やCIR過程といった既知の過程とどのように関係するか？
• RQ5 特性三つ組 (b, A, ν) は、ゲージ変換に対する不変性を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、一般の半マルティンゲール（ジャンプ付き）によって駆動されるリー群上のSDEに対して、ゲージ対称性および時間対称性を導入し、古典的対称性解析を非マルコフ型およびジャンプ・ドリフト設定へと拡張した。
• 径方向過程 R_t は、一般化されたSDEを満たし、ノイズがブラウン運動で Z₁ = I₂ の場合、ベッセル過程に簡約される。これは回転不変性を確認するものである。
• 離散時間の半マルティンゲールに対しては、O(2) ゲージ対称性が、(K_n, H_n) の増分分布が直交共役および回転に関して不変であるときにかつそのときに限り成立する。
• 対称性群を用いたSDEの簡約により、ODEにおける四則演算に類似た明示的解の公式が得られる。
• 対称性の決定方程式は一階の偏微分方程式として導出され、対称性群の体系的計算を可能にする。
• この枠組みはアフィン型およびマーカス型SDEを一般化する。特に、Z₁ が確定的で Z₂ がブラウン運動であるとき、径方向方程式 (48) は時間に依存するCIRモデルに簡約される。