[論文レビュー] Symmetrized poly-Bernoulli numbers and combinatorics

Toshiki Matsusaka|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称化された多項ベルヌーイ数とDumont-Foata多項式の間の新しい組合せ的恒等式を確立し、整数点 $k$ における対称化された多項ベルヌーイ数の交代和が $k! \cdot (-1)^{n/2} G_n(1,1,k)$ に等しいことを証明する。ここで $G_n(1,1,k)$ は $x=y=1, z=k$ における $n$ 次のDumont-Foata多項式 $G_n(x,y,z)$ の値である。この結果は、ジェノチ数にかかわる既知の恒等式を一般化し、整数引数における多項ベルヌーイ数の対角和に対して一貫した組合せ的解釈を提供する。

ABSTRACT

Poly-Bernoulli numbers are one of generalizations of the classical Bernoulli numbers. Since a negative index poly-Bernoulli number is an integer, it is an interesting problem to study this number from combinatorial viewpoint. In this short article, we give a new combinatorial relation between symmetrized poly-Bernoulli numbers and the Dumont-Foata polynomials.

研究の動機と目的

• 整数 $k \geq 0$ における多項ベルヌーイ数の対角和に対する組合せ的解釈を提供すること。これは、$k=0$ および $k=1$ の場合に既知の結果を拡張するものである。
• Sakurai が提起した疑問、すなわち Arakawa-Kaneko および Kaneko-Sakurai-Tsumura の恒等式を任意の正の整数 $k$ に一般化できるかという問いに応えること。
• 対称化された多項ベルヌーイ数とDumont-Foata多項式 $G_n(x,y,z)$ の間の明確な代数的および組合せ的関係を確立すること。

提案手法

• Stirling数の第二種と階乗を含む明示的公式を用いて、対称化された多項ベルヌーイ数 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(k)$ を定義する。
• Stirling数の母関数の恒等式を用いて、交代和 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k)$ を分析する。
• 再帰関係の満たしをテストするための補助関数 $\tilde{G}_n(k) = \frac{(-1)^{n/2}}{k!} \sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k)$ を導入する。
• この $\tilde{G}_n(k)$ が、$G_0(z)=1$, $G_1(z)=0$ を初期条件とする、Gandhi多項式 $G_n(z)$ と同じ再帰関係 $G_{n+2}(z) = z(z+1)G_n(z+1) - z^2 G_n(z)$ を満たすことを証明する。
• 母関数の操作と係数抽出を用いて、再帰関係のもとで和が消えることを示し、恒等式の妥当性を確認する。
• Dumont-Foata多項式 $G_n(x,y,z)$ の既知の性質、特に対称性およびピストル（制約付き全単射写像）による組合せ的解釈を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $k \geq 0$ に対して、恒等式 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell B_{n-\ell}^{(-\ell-1)}(1) = (-1)^{n/2} G_n$ を一般化できるか。
• RQ2 整数 $k$ における交代和 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k)$ に対して、組合せ的解釈は存在するか。
• RQ3 対称化された多項ベルヌーイ数 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(k)$ は、$k=0$ および $k=1$ の場合を統一する一様な組合せ的モデルを有するか。
• RQ4 Dumont-Foata多項式 $G_n(x,y,z)$ の再帰構造を用いて、多項ベルヌーイ数の新たな恒等式を導出できるか。

主な発見

• 主な結果は、すべての $n,k \geq 0$ に対して恒等式 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell \mathscr{B}_{n-\ell}^{(-\ell)}(k) = k! \cdot (-1)^{n/2} G_n(1,1,k)$ が成り立つこと。$n$ が奇数のときは両辺とも 0 である。
• この恒等式は、$k=1$ のとき、$\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(1) = B_m^{(-\ell-1)}(1)$ および $G_n(1,1,1) = G_n$ より、既知の結果 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell B_{n-\ell}^{(-\ell-1)}(1) = (-1)^{n/2} G_n$ を回復する。
• この恒等式は、$k=0$ のときも成り立つ。$\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(0) = B_m^{(-\ell)}(0)$ および $n > 0$ のとき $G_n(1,1,0) = 0$ より、Arakawa-Kaneko の恒等式 $\sum_{\ell=0}^n (-1)^\ell B_{n-\ell}^{(-\ell)}(0) = 0$ を回復する。
• 証明は、正規化された和 $\tilde{G}_n(k)$ がGandhi多項式 $G_n(z)$ と同じ再帰関係を満たすことを示すことに依拠しており、母関数の技法によって恒等式が確認される。
• 係数 $a_{n,j} = \sum_{\ell=j}^{n-j} (-1)^\ell \left\{ \begin{smallmatrix} n-\ell+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\} \left\{ \begin{smallmatrix} \ell+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\}$ は、$n$ が奇数のとき 0 であり、再帰関係 $a_{n+2,j} = (j+1)^2 a_{n,j} - a_{n,j-1}$ を満たす。これは証明の鍵となる。
• 対称化された多項ベルヌーイ数 $\mathscr{B}_m^{(-\ell)}(k)$ は明示的に $\sum_{j=0}^{\min(m,\ell)} j!(k+j)! \left\{ \begin{smallmatrix} m+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\} \left\{ \begin{smallmatrix} \ell+1 \\ j+1 \end{smallmatrix}\right\}$ と与えられ、証明における代数的変形を可能にする。