[論文レビュー] Symmetry as a shadow of topological order and a derivation of topological holographic principle

Arkya Chatterjee, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

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ひとこと要約

本稿では、有限（高次）対称性（異常、非可逆的、重力的異常を含む）が、非退化な braided fusion n-圏によって完全に記述されることを示す、対称性／位相的秩序（Symm/TO）対応を提案する。これは、1つ次元高い空間における位相的秩序に対応する。また、局所的境界オペレーターの代数が、バルクにおける位相的秩序を一意に決定することを示す、位相的ホログラフィー原理を導出する。この原理は、オペレーター代数と透過的パッチオペレーターに根ざしたカテゴリカルな枠組みによって、多様な対称性タイプを統一的に記述する。

ABSTRACT

Symmetry is usually defined via transformations described by a (higher) group. But a symmetry really corresponds to an algebra of local symmetric operators, which directly constrains the properties of the system. In this paper, we point out that the algebra of local symmetric operators contains a special class of extended operators -- transparent patch operators, which reveal the selection sectors and hence the corresponding symmetry. The algebra of those transparent patch operators in $n$-dimensional space gives rise to a non-degenerate braided fusion $n$-category, which happens to describe a topological order in one higher dimension (for finite symmetry). Such a holographic theory not only describes (higher) symmetries, it also describes anomalous (higher) symmetries, non-invertible (higher) symmetries (also known as algebraic higher symmetries), and non-invertible gravitational anomalies. Thus, topological order in one higher dimension, replacing group, provides a unified and systematic description of the above generalized symmetries. This is referred to symmetry/topological-order (Symm/TO) correspondence. Our approach also leads to a derivation of topological holographic principle: \emph{boundary uniquely determines the bulk}, or more precisely, the algebra of local boundary operators uniquely determines the bulk topological order. As an application of the Symm/TO correspondence, we show the equivalence between $\mathbb{Z}_2 imes \mathbb{Z}_2$ symmetry with mixed anomaly and $\mathbb{Z}_4$ symmetry, as well as between many other symmetries, in 1-dimensional space.

研究の動機と目的

• 有限（高次）対称性（異常、非可逆的対称性を含む）を、統一的な枠組みの下に統合すること。
• 特に透過的パッチオペレーターを含む局所的対称的オペレーターの代数が、群に基づく定義を越えた対称性の完全な構造を符号化することを示すこと。
• 位相的ホログラフィー原理を導出する：境界のオペレーター代数がバルクにおける位相的秩序を一意に決定する。
• 1次元系において、混合異常を有する ℤ₂×ℤ₂ と ℤ₄ のような異なる対称性タイプが、Symm/TO 対応によって同等であることを示すこと。

提案手法

• 局所的対称的オペレーター（LSOs）の代数内における拡張オペレーターとしての透過的パッチオペレーターを導入し、隠れた対称性選択項を明らかにする。
• n次元空間における透過的パッチオペレーターの代数を構成し、それが非退化な braided fusion n-圏を形成することを示す。
• オペレーター代数の技法を用いて、有限対称性と1つ次元高い空間における位相的秩序との間の対応を導出する。
• 1次元系にこの枠組みを適用し、同型な braided fusion カテゴリを用いて、混合異常を有する ℤ₂×ℤ₂ 対称性と ℤ₄ 対称性の等価性を示す。
• t-パッチオペレーター（例：ストリング型・膜型オペレーター）を用いて、融合則とバーティング則を符号化し、代数的に対称性の性質を捉える。
• 位相的秩序の特徴づけには、対称性変換自体が冗長であることを示し、局所的対称的オペレーターの代数とその拡張形のみが本質的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限（高次）対称性（異常、非可逆的対称性を含む）を、一貫した数学的枠組みの下に統合する方法は何か？
• RQ2 透過的パッチオペレーターは、局所的対称的オペレーターの代数内における隠れた代数的構造をどのように明らかにするか？
• RQ3 n次元における局所的対称的オペレーターの代数は、(n+1)次元における位相的秩序とどのように関係するか？
• RQ4 局所的オペレーター代数の構造から、境界がバルクを一意に決定するという位相的ホログラフィー原理を導出できるか？
• RQ5 1次元系において、混合異常を有する ℤ₂×ℤ₂ 対称性と ℤ₄ 対称性の間の正確な数学的対応は何か？

主な発見

• n次元空間における透過的パッチオペレーターの代数は、非退化な braided fusion n-圏を形成し、これは1つ次元高い空間における位相的秩序に対応する。
• 異常や非可逆的（代数的）対称性を含む有限対称性は、非退化な braided fusion n-圏によって完全に分類され、従来別個に扱われていた対称性タイプが統合される。
• 位相的ホログラフィー原理が導出された：局所的境界オペレーターの代数がバルクにおける位相的秩序を一意に決定する。
• 1次元系において、混合異常を有する ℤ₂×ℤ₂ 対称性は、同型な braided fusion カテゴリを用いて ℤ₄ 対称性と同等であることが示された。
• この枠組みにより、対称性は群変換によって定義されるのではなく、局所的対称的オペレーターの代数とその拡張形によって定義され、対称性の電荷は透過的パッチオペレーターに符号化されることが明らかになった。
• 本研究により、群に基づく対称性の記述は不十分であることが示され、カテゴリカル構造（braided fusion カテゴリ）がより根本的かつ普遍的な記述を提供することが明らかになった。