[論文レビュー] Symmetry Breaking Using Value Precedence

Toby Walsh|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 12被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、値交換可能性問題における対称性を打ち破るために、値優先順序制約を三項制約に効率的かつ効果的に符号化する手法を提示する。このアプローチが一般化されたアーク整合性（generalized arc consistency）を達成し、最適なO(nd)時間計算量を実現することを示し、特に複数の交換可能な値を含む場合に、他の手法と比較して、刈り込み効果と実行時間の両面で優れていることを示している。

ABSTRACT

We present a comprehensive study of the use of value precedence constraints to break value symmetry. We first give a simple encoding of value precedence into ternary constraints that is both efficient and effective at breaking symmetry. We then extend value precedence to deal with a number of generalizations like wreath value and partial interchangeability. We also show that value precedence is closely related to lexicographical ordering. Finally, we consider the interaction between value precedence and symmetry breaking constraints for variable symmetries.

研究の動機と目的

• 値交換可能性が生じる制約充足問題（CSP）における対称性の課題に対処すること。
• 特別な伝搬アルゴリズムに依存しない実用的で効率的な値対称性の打ち切り手法を開発すること。
• 複数の交換可能な値、部分的交換可能性、およびワイヤスプロダクト対称性を扱えるように、値優先順序を一般化すること。
• 値優先順序と辞書式順序制約との間の明確な形式的関係を確立すること。
• ハイブリッドモデルにおける値優先順序と変数対称性の打ち切り制約との相互作用を評価すること。

提案手法

• 補助的な0/1変数$B_i$を用いて、位置$i$までに優先順位の高い値が出現したかどうかを追跡する三項制約の列に値優先順序制約を符号化する。
• 三項制約$C(X_i, B_i, B_{i+1})$を定義し、次を強制する：$X_i = v_j \Rightarrow B_{i+1} = 1$、$X_i \neq v_j \Rightarrow B_i = B_{i+1}$、および$B_i = 0 \Rightarrow X_i \neq v_k$。
• $B_1 = 0$を設定して優先順序追跡を初期化し、$v_j$が出現する前に、より低い優先順位の値$v_k$が割り当てられないように保証する。
• ベルジュ非巡回な制約グラフ構造を活用し、三項制約の局所的なGAC（一般化されたアーク整合性）の伝搬によって、GACが達成されることを保証する。
• 標準的な制約プリミティブ（例：含意、等価性）を用いて、既存の制約ソルバーで効率的に三項制約を実装する。
• 隣接値手法が要するO(k)の制約を回避するため、複数の交換可能な値を扱うために、1つのグローバル優先順序制約を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特別な伝搬アルゴリズムを用いずに、三項制約のみを用いて値優先順序を効率的に符号化できるか？
• RQ2 隣接値優先順序制約などの従来手法と比較して、提案手法の性能と刈り込み効果はどのように異なるか？
• RQ3 値優先順序と辞書式順序制約との関係は何か？
• RQ4 ハイブリッドモデルにおいて、値優先順序は変数対称性の打ち切り制約とどのように相互作用するか？
• RQ5 本手法は、部分的交換可能性およびワイヤスプロダクト対称性を扱えるように一般化できるか？

主な発見

• 提案された三項符号化は、ロウとリーの特別なアルゴリズムと同等のO(nd)時間計算量で一般化されたアーク整合性を達成している。
• 複数の交換可能な値（例：k > 4）を含む問題では、グローバル優先順序制約モデルが実行時間と刈り込み効果の両面で隣接値モデルを上回り、バックトラック数を顕著に削減している。
• シュール数問題$S(13,5)$において、すべての解が11.88秒で発見され、バックトラック数は6,606件であった。一方、隣接モデルでは20.80秒、210,682件のバックトラックを要した。
• グローバルモデルでは243の制約しか使用しなかったが、隣接モデルでは477の制約を要しており、値対称性の増加に伴うスケーラビリティの優位性が示された。
• 制約エンジンが充足された制約を無視しても整合性を効率的に維持できるため、本手法はインクリメンタルソルビングにおいても頑健である。
• 本稿では、値優先順序と辞書式順序制約との間の形式的関係を確立し、値優先順序が値対称性における辞書式順序の自然な一般化であることを示している。