[論文レビュー] Symmetry Classification of Many-Body Lindbladians: Tenfold Way and Beyond

Lucas Sá, Pedro Ribeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2022

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、開量子系を記述する非ヒルベルト的スーパーオペレーターである多体リンドブラジアンの体系的対称性分類を確立した。一般条件下で、これらは10の非ヒルベルト的対称性クラスに分類され、アルトランド＝ツァーブァウアーの十重方式に類似している。分類は、ユニタリ対称性と反ユニタリ対称性に基づくもので、完全正定性とトレース保存性がクラスを制約しており、明示的なスピン鎖モデルとランダム行列統計によって検証されており、各クラス固有の普遍的な準位相関関係が示されている。

ABSTRACT

We perform a systematic symmetry classification of many-body Lindblad superoperators describing general (interacting) open quantum systems coupled to a Markovian environment. Our classification is based on the behavior of the many-body Lindbladian under antiunitary symmetries and unitary involutions. We find that Hermiticity preservation reduces the number of symmetry classes, while trace preservation and complete positivity do not, and that the set of admissible classes depends on the presence of additional unitary symmetries: in their absence or in symmetry sectors containing steady states, many-body Lindbladians belong to one of ten non-Hermitian symmetry classes; if however, there are additional symmetries and we consider non-steady-state sectors, they belong to a different set of 19 classes. In both cases, it does not include classes with Kramer's degeneracy. Remarkably, our classification admits a straightforward generalization to the case of non-Markovian, and even non-trace-preserving, open quantum dynamics. While the abstract classification is completely general, we then apply it to general (long-range, interacting, spatially inhomogeneous) spin-$1/2$ chains. We explicitly build examples in all ten classes of Lindbladians in steady-state sectors, describing standard physical processes such as dephasing, spin injection and absorption, and incoherent hopping, thus illustrating the relevance of our classification for practical physics applications. Finally, we show that the examples in each class display unique random-matrix correlations. To fully resolve all symmetries, we employ the combined analysis of bulk complex spacing ratios and the overlap of eigenvector pairs related by symmetry operations. We further find that statistics of levels constrained onto the real and imaginary axes or close to the origin are not universal due to spontaneous breaking of Lindbladian PT symmetry.

研究の動機と目的

• 反ユニタリ対称性およびユニタリ対称性の下での振る舞いに基づき、多体リンドブラジアンを体系的に分類すること。
• ヒルベルト性保存、トレース保存、完全正定性といった物理的制約が、対称性クラスの数と種別に与える影響を特定すること。
• 標準的な開量子系を超えて、非マーカフ的かつトレース保存でないダイナミクスへと分類を拡張すること。
• すべての10クラスにわたる明示的なスピン鎖モデルを構築することで、分類の物理的妥当性を実証すること。具体的には、デコherence、スピン注入、非可逆的ホッピングを含む。
• 固有値間隔比と固有状態の重なりに関する普遍的なランダム行列相関関係を同定し、各対称性クラスを区別できることを示すこと。

提案手法

• 時間反転などの反ユニタリ操作および粒子-hole対称性などのユニタリ自己同型の下での変換性を用いて、リンドブラジアンの対称性分類を導出する。
• 定常状態領域（追加のユニタリ対称性が存在する可能性がある）と非定常状態領域を区別し、それぞれ別々の10および19の対称性クラスが得られることを示す。
• 周期的境界条件を満たす長距離相互作用を持つスピン1/2鎖系に、最近接および第二近隣結合を用いて分類を適用する。
• クエンチドランダム結合を伴うデコherence、スピン注入・吸収、非可逆的ホッピング項を用いて、すべての10クラスの明示的リンドブラジアンモデルを構築する。
• 長さL=5,6,7,8の鎖について、Liouvillianスーパーオペレーターの数値的厳密対角化を実施し、固有値スペクトルと固有状態を計算する。
• 境界効果を避けるために、|Re(λ)|, |Im(λ)| > 10⁻⁶ を満たす固有値に注目し、複素間隔比と固有状態の重なりに関するバルク統計的相関を対称性操作の下で分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース保存、ヒルベルト性保存、完全正定性の制約のもとで、物理的に実現可能な多体リンドブラジアンが属し得る異なる対称性クラスはいくつあるか？
• RQ2 定常状態または非定常状態領域における追加のユニタリ対称性が、許容される対称性クラスの集合にどのように影響を与えるか？
• RQ3 ヒルベルトハミルトニアンの十重方式分類を非ヒルベルト的リンドブラジアンへと拡張可能か？もし可能であれば、その違いは何か？
• RQ4 各クラスに属するリンドブラジアンの固有値統計は、普遍的なランダム行列相関関係を示すか？また、スペクトルおよび固有状態の統計から各クラスを区別できるか？
• RQ5 リンドブラジアンのPT対称性が、実軸または原点付近での非普遍的振る舞いを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 追加のユニタリ対称性がなく、あるいは定常状態領域においては、多体リンドブラジアンは10の非ヒルベルト的対称性クラスのいずれかに属し、クライマー縮退を示すクラスは存在しない。
• 非定常状態領域における追加のユニタリ対称性の導入により、別の19の許容される対称性クラスの集合が得られる。
• ヒルベルト性保存は対称性クラスの数を減少させるが、トレース保存および完全正定性は追加の制約を課さない。
• デコherence、スピン注入/除去、非可逆的ホッピングを含む、すべての10クラスにわたる明示的モデルが構築され、分類の物理的妥当性が確認された。
• 各対称性クラスは、複素間隔比および固有状態の重なりにおいて固有のランダム行列相関関係を示し、バルク領域では統計が安定している。
• 実軸または原点付近の準位統計は、リンドブラジアンのPT対称性の自発的破れにより非普遍的であり、これらの領域では普遍性の破綻が示唆される。