[論文レビュー] Symmetry invariance of conservation laws

Stephen C. Anco, A. H. Kara|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、保存則の乗数法を用いて偏微分方程式における保存則の対称性不変条件を導出する。最近の Ibragimov の保存則の公式が、無限小対称性が乗数に作用する標準的な作用と等価であることを示し、保存則およびその関連量が対称性作用に対して不変または斉一次である場合の簡単な基準を提供する。

ABSTRACT

Symmetry invariance of conservation laws of partial differential equations is developed and applied to several examples by using the general method of conservation law multipliers. As main results, simple conditions are given for characterizing when a conservation law and its associated conserved quantity are invariant (and, more generally, homogeneous) under the action of a symmetry. These results are used to show that a recent conservation law formula (due to Ibragimov) is equivalent to a standard formula for the action of an infinitesimal symmetry on a conservation law multiplier.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式における保存則およびその関連保存量が、対称性作用に対していつ不変であるかを特定すること。
• 保存則乗数の一般的手法を用いて、対称性不変性および斉一次性のための簡単で明示的な条件を導出すること。
• Ibragimov の最近の保存則の公式と、無限小対称性の下での乗数に対する標準的変換法則との間の関係を明確にすること。
• 偏微分方程式における保存則を保存する対称性を体系的に特定するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 保存則乗数に対する無限小対称性の作用を分析するために、保存則乗数の一般的手法が用いられる。
• 乗数が対称性作用の下でどのように変化するかを検討することで、保存則が対称性に対して不変（または斉一次）であるための必要十分条件が導出される。
• 微分関数に対する無限小対称性の作用の標準的公式を用いて、乗数の変化、したがって保存則の変化を計算する。
• 条件の説明と Ibragimov の公式との等価性の検証のため、いくつかの例にこの解析を適用する。
• フレームワークは、対称性代数の構造および対称性の延長による乗数の不変性性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ある保存則が、元の偏微分方程式の対称性作用に対していつ不変であるか。
• RQ2 偏微分方程式が対称性によって変換されたとき、保存量が不変のまま保たれるかどうかをどのように特定できるか。
• RQ3 Ibragimov の保存則の公式と、対称性の下での乗数に対する標準的変換法則との間の正確な関係は何か。
• RQ4 保存則の不変性が、対称性作用の下での乗数の振る舞いのみによって特徴づけられるか。

主な発見

• 保存則およびその関連保存量が偏微分方程式の対称性に対して不変であるかどうかを決定する簡単な代数的条件が導出された。
• 保存則が対称性に対して不変であるための必要十分条件として、乗数がその対称性の延長作用に対して不変であることであると確立された。
• 結果として、Ibragimov が最近提唱した保存則の公式が、無限小対称性が乗数に作用する標準的公式と数学的に等価であることが示された。
• フレームワークにより、対称性が乗数に作用する様子を分析することで、保存則を保存する対称性を体系的に特定できるようになった。