[論文レビュー] Symmetry of models versus models of symmetry

Gert de Cooman, Enrique Miranda|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 24被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、信念モデルにおける2種類の対称性を区別する。1つは弱い不変性（信念の対称性、すなわちモデルが変換に対して不変である場合）であり、もう1つは強い不変性（対称性の信念、すなわち信念が現象が対称であることを明示的に表現している場合）である。不確実性確率モデル（整合的下位予測）を用いて、これらの概念を形式的に分離可能であることを示し、無知と無差別性を同一視するベイジアンモデルの基礎的欠陥を解消する。主な貢献は、無差別性を強制せずに完全な無知下での迷いを捉えるフレームワークを提供することであり、ラプラスの不十分理由の原理を回避する。

ABSTRACT

A model for a subject's beliefs about a phenomenon may exhibit symmetry, in the sense that it is invariant under certain transformations. On the other hand, such a belief model may be intended to represent that the subject believes or knows that the phenomenon under study exhibits symmetry. We defend the view that these are fundamentally different things, even though the difference cannot be captured by Bayesian belief models. In fact, the failure to distinguish between both situations leads to Laplace's so-called Principle of Insufficient Reason, which has been criticised extensively in the literature. We show that there are belief models (imprecise probability models, coherent lower previsions) that generalise and include the Bayesian belief models, but where this fundamental difference can be captured. This leads to two notions of symmetry for such belief models: weak invariance (representing symmetry of beliefs) and strong invariance (modelling beliefs of symmetry). We discuss various mathematical as well as more philosophical aspects of these notions. We also discuss a few examples to show the relevance of our findings both to probabilistic modelling and to statistical inference, and to the notion of exchangeability in particular.

研究の動機と目的

• 信念モデルにおける対称性（弱い不変性）と現象の対称性に関する信念（強い不変性）の概念的違いを明確化すること。
• ベイジアンモデルが完全な無知下での迷いを捉えられず、迷いと無差別性を不適切に同一視することの原因を示すこと。
• 両者の対称性を独立に表現できる、整合的下位予測を用いた形式的フレームワークを構築すること。
• 空信念モデルがすべての変換に対して弱く不変であり、完全な無知の忠実な表現として機能できることを示すこと。
• 正確な確率モデルが対称性を扱う際の限界、特に無限集合における限界を明らかにし、統計的推論のより強固な基盤を提案すること。

提案手法

• 著者たちは、不確実性信念を表現するため、ベイジアン確率モデルの一般化として整合的下位予測を用いる。
• 弱い不変性を、群またはモノイドによる変換に対して下位予測が不変であると定義し、信念の対称性を保証する。
• 強い不変性を、主体が現象の対称性を信じていることを反映する変換に対して下位予測が不変であると定義する。
• 強い不変性制約を満たす最小の整合的下位予測を構成するために、自然拡張の概念を導入する。
• これらのモデルの更新挙動を分析し、空信念モデルが条件付き確率化においても空のまま保たれることを示し、迷いが維持されることを確認する。
• バナッハ極限とモノイドの構造的解析を用いて、無限集合上での強い不変予測の存在と限界を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信念モデルは、モデルの対称性（弱い不変性）と現象の対称性に関する信念（強い不変性）を区別できるか？
• RQ2 なぜベイジアンモデルは完全な無知下での迷いを表現できず、その結果として迷いと無差別性を同一視してしまうのか？
• RQ3 自然数のような無限集合において、強い不変性がどのような条件下で確実な損失をもたらすのか？
• RQ4 正確な確率が失敗する状況でも、構造的対称性を表す変換に対して不変である整合的下位予測を構築できるか？
• RQ5 強い不変性の弱体化されたバージョンは、確実な損失を回避しながら、対称性に基づく推論の合理性を保つことができるか？

主な発見

• 空信念モデルは任意の変換に対して弱く不変であり、完全な無知の自然な表現として適している。
• 自然数上での完全な置換群の下で、整合的下位予測に強い不変性を課すことは不可能であり、それは確実な損失を引き起こすからである。
• 平行移動（シフト）のモノイドでは強い不変性は可能だが、更新の際にも依然として確実な損失を引き起こす可能性があり、その行動的妥当性に限界があることが示された。
• 強い不変性を満たす下位予測の自然拡張が整合的でない場合があることから、強い不変性が常に整合性と両立するわけではないことが明らかになった。
• 不確実性確率モデルにより、迷いを無差別性とは独立に表現できるため、ラプラスの不十分理由の原理の核心的欠陥を回避できる。
• 弱い不変性と強い不変性の区別は、証拠の対称性と対称性に関する証拠の両方を形式的にモデル化する基盤を提供し、統計的推論における長年の問題を解決する。