[論文レビュー] Symmetry Resolved Entanglement of Excited States in Quantum Field Theory I: Free Theories, Twist Fields and Qubits

Luca Capizzi, Olalla A. Castro-Alvaredo+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2022

Quantum many-body systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、U(1)対称性をもつ1+1次元自由量子場理論の励起状態における対称性に依存するエンタングルメントエントロピー（SREE）の普遍的公式を、ねじれ場とフォーム因子技術を用いて導出する。SREEの比（ charged moments の比）が、励起準粒子の数、統計、対称性電荷に普遍的に依存することを示し、有限体積補正は $(mL)^{-4}$ 次に現れることを確認した。この結果は自由ボソン理論およびキュービット模型でも裏付けられた。

ABSTRACT

The excess entanglement resulting from exciting a finite number of quasiparticles above the ground state of a free integrable quantum field theory has been investigated quite extensively in the literature. It has been found that it takes a very simple form, depending only on the number of excitations and their statistics. There is now mounting evidence that such formulae also apply to interacting and even higher-dimensional quantum theories. In this paper we study the entanglement content of such zero-density excited states focusing on the symmetry resolved entanglement, that is on 1+1D quantum field theories that possess an internal symmetry. The ratio of charged moments between the excited and grounds states, from which the symmetry resolved entanglement entropy can be obtained, takes a very simple and universal form, which in addition to the number and statistics of the excitations, now depends also on the symmetry charge. Using form factor techniques, we obtain both the ratio of moments and the symmetry resolved entanglement entropies in complex free theories which possess $U(1)$ symmetry. The same formulae are found for simple qubit states.

研究の動機と目的

• U(1)対称性をもつ1+1次元自由量子場理論の励起状態における対称性に依存するエンタングルメントエントロピー（SREE）の普遍的公式を導出すること。
• SREEを計算する上で鍵となるcharged momentsの比が、励起準粒子の数、統計、対称性電荷にどのように依存するかを調査すること。
• 全エンタングルメントにとどまらず、対称性セクターの寄与を含めた励起状態における過剰エンタングルメントの理解を拡張すること。
• フォーム因子技術を用いて、自由複素ボソン理論および単純なキュービット状態において導出した公式を検証すること。
• SREEのmoments比に対する有限体積補正の構造を分析し、それがどの次数に初めて現れるかを明らかにすること。

提案手法

• 本研究では、分岐点ねじれ場およびその相関関数を用いて、対称性に依存するエンタングルメントデータを含むcharged moments $ Z_n(\alpha) $ を計算する。
• 自由理論におけるU(1)対称性をもつ多粒子状態間でのねじれ場の行列要素を、フォーム因子技術を用いて計算する。
• 無限体積におけるフォーム因子を用いて、正負の電荷をもつ粒子数が等しい多粒子状態の和をとることで、moments比 $ \mathcal{Z}_n(q)/\mathcal{Z}_1^n(q) $ を導出する。
• 有限体積におけるねじれ場積 $ \langle 0 | \mathcal{T}^\alpha_n(0) \tilde{\mathcal{T}}^\alpha_n(\ell) | 0 \rangle $ の真空期待値を明示的に計算する。
• 急速度のベーテ方程式を解き、$ 1/(mL) $ で展開することで有限体積補正を評価し、最初の非ゼロ補正が $ \mathcal{O}((mL)^{-4}) $ に現れることを明らかにした。
• qubitモデルでも同様の導出が可能であり、同じ対称性および励起構造をもつ系において、SREE公式の普遍性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元自由量子場理論の励起状態における対称性に依存するエンタングルメントエントロピー（SREE）は、励起準粒子の数、統計、対称性電荷にどのように依存するか？
• RQ2 charged moments $ Z_n(\alpha) $ の比は、励起数、統計、U(1)電荷にのみ依存する普遍的形で表せるか？
• RQ3 SREEにおけるmoments比に対する有限体積補正の構造は何か？ そして、最初に現れる補正はどの次数か？
• RQ4 同じU(1)対称性と励起構造をもつ単純なキュービット状態でも、自由場理論と同様に同じ普遍的SREE公式が成り立つか？
• RQ5 SREE比に対する有限体積補正が $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ および $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ で消える理由は何か？ そして、最初の非ゼロ補正の起源は何か？

主な発見

• 自由U(1)対称性をもつ理論におけるSREEのcharged moments比は、励起数、統計、対称性電荷に普遍的に依存し、具体的なモデルに依存しない。
• moments比に対する最初の有限体積補正は $ \mathcal{O}((mL)^{-4}) $ 次に現れ、$ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ や $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ には補正がない。これは量子数の発散する和が相殺されるためである。
• $ \mathcal{O}((mL)^{-2}) $ および $ \mathcal{O}((mL)^{-3}) $ の補正が存在しないのは、整数量子数 $ J_{i}^{\pm} $ の和が指数関数的因子の周期性により収束し、消えることに起因する。
• 導出したSREE公式は、自由複素ボソン場理論および単純なキュービット状態の両方で確認され、異なる物理的実装においても普遍性が示された。
• 無限体積における $ 2s $ 粒子状態のフォーム因子は、SREEに $ (mL)^{-2s} $ スケーリングの項を寄与させ、最初の補正は $ s=2 $ の状態から生じる。
• SREE公式はcharged momentsのフーリエ変換で表され、対称性に依存するエントロピーは逆フーリエ変換により得られ、CFTおよび格子計算の結果と整合的であることが確認された。