[論文レビュー] Symplectic and Poisson structures of certain moduli spaces

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Dec 14, 1993

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、A. ワイナイトシュタインの曲面上の平坦G bundleのモジュライ空間におけるシンプレクティック構造の構成を精緻化し、ハミルトニアンG作用を伴う有限次元シンプレクティック多様体$$\mathcal{M}(\mathcal{P},G)\$$を導入することで、そのシンプレクティック減少がモジュライ空間$\mathrm{Rep}(\pi,G)$を与える。主な貢献は、この枠組みがねじれモジュライ空間および標準モジュライ空間に分岐シンプレクティック構造をもたらし、Gがコンパクトであるとき各層が有限シンプレクティック体積を持つことを示したことである。これは、ナラシムハン＝セシャドリの結果をシンプレクティック減少を用いて拡張するものである。

ABSTRACT

Symplectic and Poisson structures of certain moduli spaces/Huebschmann,J./ Abstract: Let $π$ be the fundamental group of a closed surface and $G$ a Lie group with a biinvariant metric, not necessarily positive definite. It is shown that a certain construction due to A. Weinstein relying on techniques from equivariant cohomology may be refined so as to yield (i) a symplectic structure on a certain smooth manifold $\Cal M(\Cal P,G)$ containing the space $ oman{Hom}(π,G)$ of homomorphisms and, furthermore, (ii) a hamiltonian $G$-action on $\Cal M(\Cal P,G)$ preserving the symplectic structure, with momentum mapping $μ\colon \Cal M(\Cal P,G) o g^*$, in such a way that the reduced space equals the space $ oman{Rep}(π,G)$ of representations. Our approach is somewhat more general in that it also applies to twisted moduli spaces; in particular, it yields the {\smc Narasimhan-Seshadri} moduli spaces of semistable holomorphic vector bundles by {\it symplectic reduction in finite dimensions}.This implies that, when the group $G$ is compact, such a twisted moduli space inherits a structure of {\it stratified symplectic space}, and that the strata of these twisted moduli spaces have finite symplectic volume.

研究の動機と目的

• 曲面への平坦接続のモジュライ空間の有限次元的でシンプレクティック幾何学的構成を提供し、ワイナイトシュタインの研究を拡張すること。
• モジュライ空間$\mathrm{Rep}(\pi,G)$が、ハミルトニアンG作用を伴う滑らかな有限次元シンプレクティック多様体のシンプレクティック減少として得られることを示すこと。
• Gがコンパクトであるとき、ねじれモジュライ空間$\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$が分岐シンプレクティック構造を引き継ぎ、有限シンプレクティック体積を持つことを確立すること。
• ワイナイトシュタインの構成における2形式の幾何的起源を、等変ド・ラームコホロジーとモーラー＝カルタン計算から導出することで明確化すること。
• ここで構築した運動量マップが、凸性定理やコホモロジー的技法（キルワンやアティヤ＝ボットのものなど）の適用を可能にすることを示すこと。

提案手法

• 滑らかなシンプレクティック多様体$\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$を構成し、$\mathrm{Hom}(\pi,G)$を変形リトラクトとして含み、ハミルトニアンG作用を備えること。
• 等変ド・ラームコホロジーを用い、二重微分複体$(\Omega^{*,*}_G; d, \delta_G)$を用いて、$G^{2\ell}$および単体的G多様体$NG$上の等変形式を定義・分析すること。
• Gがコンパクトのとき、$r: G^{2\ell} \to G$を定める語写像を用いて、運動量マップ$\mu: \mathcal{M}(\mathcal{P},G) \to \mathfrak{g}^*$を定義すること。
• シンプレクティック減少$\mu^{-1}(0)/G$が$\mathrm{Rep}(\pi,G)$微分同相であり、シンプレクティック構造が等変コホモロジー技法を用いて下降することを示すこと。
• 文献[22]の分岐シンプレクティック空間の理論を適用し、運動量マップの正規性を用いて、$\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$が分岐シンプレクティック構造を引き継ぐことを証明すること。
• ユニタリ群表現の局所モデルへの還元を用い、ゼロレベル集合のコンパクト性を活用することで、層のシンプレクティック体積が有限であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、無限次元ゲージ理論ではなく、有限次元シンプレクティック減少を用いて$\mathrm{Rep}(\pi,G)$におけるシンプレクティック構造を構成できるか？
• RQ2 ワイナイトシュタインの構成で用いられる2形式の幾何的起源は何か？ そして、それを体系的にどのように導出できるか？
• RQ3 中心的要素$X$によってパrameter化されるねじれモジュライ空間$\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$は、分岐シンプレクティック構造を備えるだろうか？
• RQ4 シンプレクティック減少と局所モデル解析を用いて、$\mathrm{Rep}(\pi,G)$の層の有限シンプレクティック体積を厳密に確立できるか？
• RQ5 運動量マップを用いて、凸性定理やコホモロジー的技法（例：キルワンのもの）が、これらのモジュライ空間へどの程度適用可能だろうか？

主な発見

• モジュライ空間$\mathrm{Rep}(\pi,G)$は、ハミルトニアンG作用を伴う有限次元シンプレクティック多様体$\mathcal{M}(\mathcal{P},G)$のシンプレクティック減少として実現され、シンプレクティック構造の有限次元的実現が得られる。
• Gがコンパクトであるとき、運動量マップ$\mu: \mathcal{M}(\mathcal{P},G) \to \mathfrak{g}^*$は正規であるため、減少空間が分岐シンプレクティック構造を引き継ぐ。
• 各層$\mathrm{Rep}_X(\Gamma,G)$は有限シンプレクティック体積を持つ。これはユニタリ群表現の局所モデルへの還元によって確立された。
• この構成により、[23]における2形式$\vartheta$の起源が、恣意的に提示されたものではなく、等変コホモロジーから自然に生じることを説明できる。
• この枠組みはねじれモジュライ空間にも適用可能であり、半安定な正則ベクトル束のナラシムハン＝セシャドリのモジュライ空間が、有限次元シンプレクティック多様体のシンプレクティック減少として得られる。
• 減少されたポisson代数はシンプレクティックであり、これは分岐シンプレクティック構造のおかげで、そのカシミール元は定数に限られることを意味する。