[論文レビュー] Symplectic bundles on the plane, secant varieties and Lüroth quartics revisited

Giorgio Ottaviani|ArXiv.org|Feb 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、射影平面におけるシンプレクティックベクトル束と、$X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ における $\mathcal{O}(1,2)$ の高次接続多様体の間の深い関係を確立し、$(n+1)$-次接多様体 $\sigma_{n+1}(X)$ が対称的ストラッセング方程式によって定義されるハイパーサーフェスであることを証明する。主な結果として、$n=4$ の場合、このハイパーサーフェスはリューロス四次曲線をパラメトライズし、接続多様体の幾何とシンプレクティック束のバート写像およびブリル-ノイザー集合の関係を結ぶ。

ABSTRACT

Let $X={\bf P}^2 imes{\bf P}^{n-1}$ embedded with $Ø(1,2)$. We prove that its $(n+1)$-secant variety $σ_{n+1}(X)$ is a hypersurface, while it is expected that it fills the ambient space. The equation of $σ_{n+1}(X)$ is the symmetric analog of the Strassen equation. When $n=4$ the determinantal map takes $σ_5(X)$ to the hypersurface of Lüroth quartics, which is the image of the Barth map studied by LePotier and Tikhomirov. This hint allows to obtain some results on the jumping lines and the Brill-Noether loci of symplectic bundles on ${\bf P}^2$ by using the higher secant varieties of $X$.

研究の動機と目的

• セグレ・ヴェロネーゼ多様体 $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ に $\mathcal{O}(1,2)$ を用いて埋め込んだときの高次接続多様体と、$\mathbb{P}^2$ 上のシンプレクティック束のモジュライの幾何的関係を明らかにすること。
• $n \geq 4$ かつ $n$ が偶数のとき、$(n+1)$-次接多様体 $\sigma_{n+1}(X)$ がハイパーサーフェスであることを示すため、ストラッセング方程式の対称版を構成すること。
• $n=4$ の場合、ハイパーサーフェス $\sigma_5(X)$ がリューロス四次曲線をパラメトライズすることを示し、接続多様体を用いたリューロスの定理の幾何的証明を与えること。
• シンプレクティック束のブリル-ノイザー集合を $\sigma_{n+(r/2)}(X)$ の幾何と関連づけ、特に $E(1)$ の切断の消失を用いて議論すること。

提案手法

• $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ を $\mathcal{O}(1,2)$ で埋め込み、その高次接続多様体 $\sigma_k(X)$ を研究すること。
• ストラッセング写像の対称版を一般化する対称的収縮写像 $S_f: H^0(U \otimes S^2 V) \to \wedge^2 U \otimes W$ を導入すること。
• 対称写像 $S_f$ の行列式が $\sigma_{n+1}(X)$ 上で消失することを示し、これにより対称的ストラッセング方程式が得られることを証明することで、$\sigma_{n+1}(X)$ がハイパーサーフェスであることを示すこと。
• バート・モナド構成法を用いて、シンプレクティック束 $E \in M_{sp}(r,n)$ をコhomology束として実現し、そのジャンピング線を接続多様体と関連づけること。
• $E(1)$ の切断の存在を $H^0(f(1))$ のランクに関連づけ、テラチーニ型の議論を用いて核の余次元を評価すること。
• 4項補題を適用し、$H^0(\Omega^1(3))$ に対して $SL(U)$-不変な斉次列を得ることで、$h^0(E(1))$ の計算を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ $X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^3$ に $\mathcal{O}(1,2)$ を用いた $5$-次接多様体は、埋込空間の次元が期待されるのに、ハイパーサーフェスをなすのか？
• RQ2 対称的ストラッセング方程式は、$\mathbb{P}^2$ 上のシンプレクティック束のバート写像およびジャンピング線の曲線とどのように関係しているのか？
• RQ3 ブリル-ノイザー集合 $M_{sp}(r,n)^{k}$ の幾何的意味は、多様体 $X$ の接続多様体を用いてどのように解釈できるか？
• RQ4 一般に $M_{sp}(r,n)^{r/2}$ に属する束が、$r=2$ のみのとき $\sigma_{n+(r/2)}(X)$ から生じる理由は何か？

主な発見

• $(n+1)$-次接多様体 $\sigma_{n+1}(X)$ は、$n \geq 4$ かつ $n$ が偶数のとき、$X = \mathbb{P}^2 \times \mathbb{P}^{n-1}$ に $\mathcal{O}(1,2)$ を用いた埋め込みにおいてハイパーサーフェスであり、対称的ストラッセング方程式 $\det S_f = 0$ によって定義される。
• $n=4$ の場合、ハイパーサーフェス $\sigma_5(X)$ はリューロス四次曲線をパラメトライズし、その方程式はストラッセング方程式の対称版であり、バート写像の像と一致する。
• 一般の $E \in M_{sp}(2,4)$ のジャンピング線の曲線はリューロス四次曲線であり、その方程式は $\Delta(\sum_{i=1}^5 r_i h_i^2) = 0$ と書ける。ここで $r_i$ は直線、$h_i$ は一次形式である。
• ジャンピング曲線を記述する直線 $r_1, \dots, r_k$ の多様体の次元は $\frac{n}{2} - 1$ であり、$n=4$ のとき $1$ となる。これはリューロス四次曲線の幾何的構造を確認する。
• 一般の $f \in \sigma_{n+(r/2)}(X)$ に対して、束 $E(f)$ は $h^0(E(1)) \geq r/2$ を満たすが、この境界は $r=2$ のときのみ厳密であり、これはフールスベルゲン束に対応する。
• $r > 2$ のとき、ブリル-ノイザー集合 $M_{sp}(r,n)^{r/2}$ の接空間次元は $\Delta(\sigma_{n+(r/2)}(X))$ の次元を上回るため、$r=2$ の束のみがこの方法で接続多様体から生じる。