[論文レビュー] Symplectic geometry and circuit quantization

Andrew Osborne, Trevyn F. Q. Larson+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2023

Quantum and electron transport phenomena参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ記述を必要とせず、電磁回路の量子化にシンプレクティック幾何学に基づくハミルトニアン形式を導入する。非線形または非可逆的素子（例えばジョセフソンジャンクションや量子位相スリップ）を含む回路の整合的量子化を、グラフ理論的構造と正準共役変数を活用することで可能にし、従来困難であったケースに対して一貫性のある、アルゴリズム的手法を提供する。

ABSTRACT

Circuit quantization is an extraordinarily successful theory that describes the behavior of quantum circuits with high precision. The most widely used approach of circuit quantization relies on introducing a classical Lagrangian whose degrees of freedom are either magnetic fluxes or electric charges in the circuit. By combining nonlinear circuit elements (such as Josephson junctions or quantum phase slips), it is possible to build circuits where a standard Lagrangian description (and thus the standard quantization method) does not exist. Inspired by the mathematics of symplectic geometry and graph theory, we address this challenge, and present a Hamiltonian formulation of non-dissipative electrodynamic circuits. The resulting procedure for circuit quantization is independent of whether circuit elements are linear or nonlinear, or if the circuit is driven by external biases. We explain how to re-derive known results from our formalism, and provide an efficient algorithm for quantizing circuits, including those that cannot be quantized using existing methods.

研究の動機と目的

• 標準的な回路量子化の根本的限界、すなわちジョセフソンジャンクションや量子位相スリップのような非線形または非可逆的素子を含む回路では失敗することを解決すること。
• グローバルなラグランジュ形式の存在に依存しない、ハミルトニアンに基づく量子化手法の開発により、従来の手法の制約を克服すること。
• 非散乱的な任意の電磁回路（複雑なトポロジーまたは特異的振るまいを示すものも含む）に対する体系的かつアルゴリズム的手順による量子化を提供すること。
• トポロジカルまたは非線形的制約によって標準的な共役対が破綻する場合でも、磁束と電荷の自由度を統一的に取り扱うこと。
• 新形式から既知の結果（例：トランスモン、フラックスォニウム）が回復されることを確認し、その整合性と一般性を検証すること。

提案手法

• グラフ理論を用いて回路を有向グラフとして形式化し、ノード、エッジ、接続行列を定義して回路のトポロジーを表現する。
• 配置空間の余接 bundle からシンプレクティック多様体を構成し、回路のトポロジーに由来する正準共役変数（磁束と電荷）を用いる。
• シンプレクティック幾何学を用いて、位相空間上に非退化かつ閉じた2形式（シンプレクティック形式）を定義し、ハミルトニアン力学の整合的性質を保証する。
• 商多様体定理を用いて周期的変数（例：フラックス量子単位で法とする磁束）を扱い、トーラス的位相空間上でもシンプレクティック構造を保つ。
• シンプレクティック構造を用いてエネルギー関数からハミルトニアンを導出し、ラグランジュ形式やルジャンドル変換の必要性を回避する。
• スパニングツリーに基づくアルゴリズム的手順を用いて、独立な力学変数および共役運動量を特定し、体系的な量子化を可能にする。

Figure 1: Examples of quantum circuits with Lagrangians using one or two types of generalized coordinates. (a) An inductor shunted by two capacitors: the Lagrangian of the circuit contains a single type of variable, the flux across the inductor, such that $L(\phi,\dot{\phi})$ . The charge-flux conju

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形または非可逆的素子のため、グローバルなラグランジュ形式が存在しない電磁回路に対し、整合的なハミルトニアン形式を構築できるか？
• RQ2 シンプレクティック幾何学とグラフ理論をどのように組み合わせて、トポロジカル制約や周期的変数を有する回路における正準共役変数を定義できるか？
• RQ3 ネネール・チャージは回路量子化において果たす役割は何か？また、物理的整合性を損なわずに自由度を削減するにはいつ使用できるか？
• RQ4 提案された形式が、統一的で幾何学的な視点から、既知の結果（例：トランスモンやフラックスォニウム量子ビットのハミルトニアン）をどのように回復するか？
• RQ5 時間に依存する外部バイアス、特異的素子、または混合磁束-電荷非線形性を有する回路へ一般化可能か？

主な発見

• 標準的なラグランジュ量子化が失敗する非線形素子（例：ジョセフソンジャンクション、量子位相スリップ）を有する回路に対しても、整合的なハミルトニアン記述が可能である。
• 位相空間上のシンプレクティック構造は、回路のトポロジーと素子の性質から直接導出され、複雑な構成でも正準交換関係が保たれる。
• 商多様体を用いて周期的境界条件（例：磁束量子化）を適切に扱い、正確性を要しないままにシンプレクティック形式を保つことが可能である。
• 容量結合された島に対して、独立なネネール・チャージの数は |Γ_C| − 1 であることが示され、全電荷保存に起因する過剰数え上げが解消される。
• 2つのコンデンサとインダクタを有する3ノード回路において、調和振動子と自由粒子の結合が回復され、既知のラグランジュ結果と整合性が確認された。
• スパニングツリーとシンプレクティック還元に基づく、任意の回路を効率的に量子化するためのアルゴリズムが確立され、デュアルモン量子ビットや特異的回路など、従来困難であったケースへの応用が可能になった。

Figure 2: Graph theory and quantum circuits. (a) An arbitrary circuit containing all four types of superconducting circuit elements: capacitors, inductors, Josephson junctions and quantum phase slips. The node fluxes are $\phi_{v_{i}}$ , while the branch charges across the capacitive elements are $q