[論文レビュー] Symplectic quasi-states on the quadric surface and Lagrangian submanifolds

Yakov Eliashberg, Leonid Polterovich|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、単調な二次曲面 $S^2 \times S^2$ 上のシンプレクティック準状態が、その量子ホモロジーに現れる二つのイデムポテン生成子に由来するスペクトル不変量から生じることを確立する。シンプレクティック場理論に根ざしたスペクトル系列と Bourgeois-Oancea の完全系列を用いて、これらの準状態が互いに交わらないラグラジアン部分多様体――反対角球面と異なった単調ラグラジアントーラス――上に支持されることを証明し、トーラスの非移動可能性と強いシンプレクティック剛性が準測度不変量によって示されることを示している。

ABSTRACT

The quantum homology of the monotone complex quadric surface splits into the sum of two fields. We outline a proof of the following statement: The unities of these fields give rise to distinct symplectic quasi-states defined by asymptotic spectral invariants. In fact, these quasi-states turn out to be "supported" on disjoint Lagrangian submanifolds. Our method involves a spectral sequence which starts at homology of the loop space of the 2-sphere and whose higher differentials are computed via symplectic field theory, in particular with the help of the Bourgeois-Oancea exact sequence.

研究の動機と目的

• 単調な二次曲面 $S^2 \times S^2$ 上のシンプレクティック準状態の支持を、スペクトル不変量を用いて同定すること。
• 二つの分離したシンプレクティック準状態が、分解量子ホモロジー代数の二つの体から生じることを証明すること。
• 第二の準状態が、反対角球面と交わらない異なった単調ラグラジアントーラス上に支持されることを示すこと。
• その準状態の $e_+$-超重さを用いて、この異なったトーラスの非移動可能性を確立し、強いシンプレクティック剛性を示すこと。
• スペクトル系列とシンプレクティック場理論の技法を用いて、フローエホモロジー的証明により準状態の支持構造を提示すること。

提案手法

• 著者らは、漸近的スペクトル不変量 $c(e_\pm, EH)$ を用いて、滑らかな関数上にシンプレクティック準状態 $\zeta_\pm$ を定義する。
• 彼らは $W = S^2 \times S^2$ の量子ホモロジー $QH_*(W,\omega)$ を分析し、イデムポテンツ $e_\pm = (1 \pm Pt)/2$ を用いて二つの体に分解する。
• スペクトル系列は、$S^2$ の自由ループ空間のホモロジーから出発し、シンプレクティック場理論を用いて高次の微分を計算する。
• Bourgeois-Oancea の完全系列が、フローエホモロジーと量子ホモロジーを結ぶスペクトル系列の微分を計算するために適用される。
• 周期的軌道の臨界部分多様体上のモース関数を用いた作用関数の摂動が、証明に含まれる。
• ホロモーフィック曲線の剛性とモジュライ空間の数え上げ（例：次数1の断面や剛性球面）が、微分成分の計算に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^2 \times S^2$ 上のシンプレクティック準状態は、ラグラジアン部分多様体上の支持によって区別可能か？
• RQ2 $S^2 \times S^2$ 内の異なった単調ラグラジアントーラスは、シンプレクティック準測度によって非移動可能か？
• RQ3 量子ホモロジーの二つのイデムポテンツ成分が、異なるシンプレクティック準状態を生じるか？
• RQ4 量子ホモロジーイデムポテンツに関連するスペクトル不変量は、ラグラジアン支持を検出可能か？
• RQ5 スペクトル系列とシンプレクティック場理論は、準状態のフローエ理論的不変量を計算するために果たす役割は何か？

主な発見

• 準状態 $\zeta_+$ は、異なった単調ラグラジアントーラス $K$ 上に支持され、$\tau_+(K) = 1$ であるため、$e_+$-超重であることが証明される。
• 準状態 $\zeta_-$ は、反対角球面 $L$ 上に支持され、$\tau_-(L) = 1$ であるが、$\tau_+(L) = 0$ である。
• 準状態 $\zeta_+$ と $\zeta_-$ は、$\tau_+(K) = 1$ および $\tau_-(K) = 0$ により、区別可能である。
• 異なったトーラス $K$ は非移動可能であり、クリフォードトーラス $T$ の任意のシンプレクティックな像と交わる。
• スペクトル系列の計算により、$d_1 \hat{m}_k = 0$ および $d_1 x = 0$（$x \in \{x_0, x_2\}$）が確認され、非自明な係数は特定の状況でのみ現れる。
• $(d_0 \check{m}_1, x_0) = 0$ の計算は、ホモロジーの矛盾を用いて確立され、見かけ上剛性のある球面が存在するにもかかわらず、非自明な寄与が排除される。