[論文レビュー] Symplectic topology of SU(2)-representation varieties and link homology, I: Symplectic braid action and the first Chern class

Magnus Jacobsson, Ryszard L. Rubinsztein|ArXiv.org|Jun 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、リンク補空間のSU(2)-表現多様体とリンクホモロジーを結びつけるシンプレクティック幾何的枠組みを確立する。具体的には、バーティカル群作用を備えたシンプレクティック多様体を構成し、バーティカルに対応するラグランジュ部分多様体を定義し、その交わりとして表現多様体が得られることを示す。主な結果は、単一に重み付けられたコホモロジーと表現多様体の成分のコホモロジーとの間で、整数の重み付けのずれを除いて正確に一致することであり、観察されたホモロジー的類似性に幾何的解釈を与える。

ABSTRACT

There are some similarities between cohomology of SU(2)-representation varieties of the fundamental group of some link complements and the Khovanov homology of the links. We start here a program to explain a possible source of these similarities. We introduce a symplectic manifold ${\mathscr M}$ with an action of the braid group $B_{2n}$ preserving the symplectic structure. The action allows to associate a Lagrangian submanifold of ${\mathscr M}$ to every braid. The representation variety of a link can then be described as the intersection of such Lagrangian submanifolds, given a braid presentation of the link. We expect this to go some way in explaining the similarities mentioned above.

研究の動機と目的

• リンク補空間のSU(2)-表現多様体のコホモロジーとコホヴァノフホモロジーの間の観察された数値的および構造的類似性を説明すること。
• シンプレクティック構造を保つバーティカル群作用を持つシンプレクティック多様体を構成し、それに基づいてバーティカルに対応するラグランジュ部分多様体を定義すること。
• バーティカル表示を持つリンク $ L $ のSU(2)-表現多様体を、そのバーティカルに対応するラグランジュ部分多様体の交わりとして実現すること。
• コホヴァノフホモロジーに観察された重み付けのずれを、$ J_C(L) $ の連結成分に自然な重み付けを導入することで幾何的に解釈すること。

提案手法

• 著者らは、2n個の穴あき2次元球面上の平坦SU(2)-接続の拡張モジュライ空間としてシンプレクティック多様体 $ \mathscr{M} $ を定義し、モノドロミーがトレースがゼロの行列の共轭類 $ C $ に属するものとする。
• バーティカル群 $ B_{2n} $ が $ \mathscr{M} $ に作用することを示し、その作用がシンプレクティック構造を保つことを証明する。この作用は、積空間 $ P_{2n} = C^{2n} $ 上の作用を拡張することで得られる。
• 各 $ n $ 本のストランドを持つバーティカル $ \sigma $ に対して、$ \mathscr{M} $ 内のラグランジュ部分多様体 $ \Gamma_\sigma \subset \mathscr{M} $ を構成し、単位バーティカルが定める標準的なラグランジュ部分多様体 $ \Lambda $ を定義する。
• バーティカル $ \sigma $ の閉包として得られるリンク $ L $ に対して、表現多様体 $ J_C(L) $ は、バーティカル作用とシンプレクティック減少を用いて、交わり $ \Lambda \cap \Gamma_\sigma $ として特定される。
• 2重被覆上の球面の輪郭上での行列式関数の巻き数解析により、シンプレクティック多様体の第一チャーン類が計算され、$ \langle f_*[\widetilde{\mathcal{S}}], c_1 \rangle = -2 $ が得られる。
• この計算により、チャーン類の位相的不変性が確認され、ラグランジュ部分多様体の交わりによるリンク不変量の幾何的構成が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホヴァノフホモロジーとSU(2)-表現多様体の成分のコホモロジーの間の観察された同型性は、幾何的構成によって説明可能か？
• RQ2 リンク補空間の基本群の表現空間に、表現多様体の構造を保つシンプレクティック実現が可能か？
• RQ3 バーティカル群の対称性を持つシンプレクティック多様体内において、リンクのSU(2)-表現多様体をラグランジュ部分多様体の交わりとして記述可能か？
• RQ4 シンプレクティック多様体 $ \mathscr{M} $ の第一チャーン類の位相的意味は何か？また、コホヴァノフホモロジーの重み付けのずれとどのように関係するか？

主な発見

• 7交点以下の素な結び目およびすべての(2,n)-トーラスリンクに対して、単一に重み付けられたコホヴァノフホモロジー $ Kh^*(L) $ は、$ J_C(L) $ の連結成分の整数コホモロジーの直和と同型であり、それぞれ整数 $ N_r $ だけずれている。これは式 (1.1) で述べられている。
• (2,n)-トーラスリンクの表現多様体 $ J_C(T_{2,n}) $ は明示的に $ S^2 \cup \bigcup_{j=1}^{(n-1)/2} \mathbb{R}P^3 $ として計算され、コホヴァノフホモロジーの成分の位相型と一致する。
• 2n個の穴あき2次元球面上の平坦SU(2)-接続の拡張モジュライ空間として実現されるシンプレクティック多様体 $ \mathscr{M} $ は、バーティカル群作用を備え、そのシンプレクティック構造を保つ。
• 2重被覆上の輪郭上での行列式関数の巻き数解析により、$ \mathscr{M} $ の第一チャーン類が計算され、$ \langle f_*[\widetilde{\mathcal{S}}], c_1 \rangle = -2 $ が得られ、その結果、正則バンドルが非自明であることが確認される。
• バーティカル $ \sigma $ に対応するラグランジュ部分多様体 $ \Gamma_\sigma $ は、交わり $ \Lambda \cap \Gamma_\sigma $ が表現多様体 $ J_C(L) $ を回復するように構成され、リンク不変量のシンプレクティック実現が得られる。
• この構成により、コホヴァノフホモロジーの重み付けのずれが、$ J_C(L) $ の成分に自然な重み付けが与えられることに起因する可能性が示され、ホモロジー不変量の背後にあるより深い位相的起源を示唆する。