[論文レビュー] SymSETs and self-dualities under gauging non-invertible symmetries

Da-Chuan Lu, Zhengdi Sun+1 more|ArXiv.org|Jan 14, 2025

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

紙は、相対中心を介してG拡張融合カテゴリー対称性からSymSET（対称性強化トポロジー秩序）を計算する一般的方法を開発し、2次元における非可換0-形対称性をゲーシングする自己対偶性を具体的なRep H8とRep D8の例で分析する。

ABSTRACT

The self-duality defects under discrete gauging in a categorical symmetry $\mathcal{C}$ can be classified by inequivalent ways of enriching the bulk SymTFT of $\mathcal{C}$ with $\mathbb{Z}_2$ 0-form symmetry. The resulting Symmetry Enriched Topological (SET) orders will be referred to as $ extit{SymSETs}$ and are parameterized by choices of $\mathbb{Z}_2$ symmetries, as well as symmetry fractionalization classes and discrete torsions. In this work, we consider self-dualities under gauging $ extit{non-invertible}$ $0$-form symmetries in $2$-dim QFTs and explore their SymSETs. Unlike the simpler case of self-dualities under gauging finite Abelian groups, the SymSETs here generally admit multiple choices of fractionalization classes. We provide a direct construction of the SymSET from a given duality defect using its $ extit{relative center}$. Using the SymSET, we show explicitly that changing fractionalization classes can change fusion rules of the duality defect besides its $F$-symbols. We consider three concrete examples: the maximal gauging of $\operatorname{Rep} H_8$, the non-maximal gauging of the duality defect $\mathcal{N}$ in $\operatorname{Rep} H_8$ and $\operatorname{Rep} D_8$ respectively. The latter two cases each result in 6 fusion categories with two types of fusion rules related by changing fractionalization class. In particular, two self-dualities of $\operatorname{Rep} D_8$ related by changing the fractionalization class lead to $\operatorname{Rep} D_{16}$ and $\operatorname{Rep} SD_{16}$ respectively. Finally, we study the physical implications such as the spin selection rules and the SPT phases for the aforementioned categories.

研究の動機と目的

• 2D量子場理論における非可換0-形対称性をゲーシングする際の自己対照欠陥をSymSETを用いて分類する。
• 相対中心ZC1(C)を用いた与えられたG拡張カテゴリーからのSymSETの直接構成を開発する。
• 境界結合の融合カテゴリー構造と融合規則に対する対称性分数化クラスの変化の影響を理解する。
• 具体的な例（Rep H8の最大ゲージ化および非最大ゲージ化、Rep D8のゲージ化）にフレームワークを適用し、物理的含意（SPT、スピン規則）を抽出する。
• bulk G対称性がMorita同値性や拡張カテゴリーの群理論的実現を意味するかどうかを明らかにする。

提案手法

• G拡張カテゴリーCから相対中心ZC1(C)を用いてSymSETを構築する。
• 非自明なグレーディング成分が体内G対称性にツイスト欠陥を導入し、それらが単純任意元に対してどのように作用するかを記述する。
• 対称性分数化クラス（H2(G,A)）および離散トーシオン（H3(G,U(1)）がF-symbolsや境界カテゴリの融合規則に及ぼす影響を計算する。
• Drinfeld中心関係Z(C)と相対中心を用いて体内SymTFTデータと境界融合カテゴリーデータを関連づける。
• Z(C1)におけるラグランジアン代数を分析して、ゲーシング後のMorita同値性や可能な群理論的実現を推測する。
• 分数化クラスが変化したときの圏論的変換の明示的公式を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性分数化クラスはゲーシング後の双対境界融合カテゴリーの融合規則とF-symbolにどのような影響を与えるのか？
• RQ2 与えられたG拡張カテゴリーから相対中心を用いてSymSETを直接どう計算するのか？
• RQ3 分数化クラスの変更がSymSETの物理的・圏論的結果（例：スピン選択規則、SPT相）にどのように影響するのか？
• RQ4 具体例（Rep H8とRep D8）において、体内のZ2対称性と離散トーシオンの組み合わせでいくつの異質な融合カテゴリーが生じるのか？
• RQ5 G拡張カテゴリーが群理論的VecωΓ構成とMorita同値性を取るのはいつか？

主な発見

• G拡張カテゴリーCからSymSETを直接構築するには相対中心ZC1(C)を介する。
• 対称性分数化クラスの変化はF-symbolだけでなく双対欠陥の融合規則も変える可能性がある。
• 3つの具体例（Rep H8の最大ゲージ化、Rep H8の非最大ゲージ化、Rep D8の非最大ゲージ化）は、分数化選択を介して複数の異なる境界融合カテゴリーを生み出す。
• 例II（Rep H8）では、2つの体内Z2対称性の選択と2つの離散トーシオンによりI型とII型の融合規則を持つ4つのカテゴリーが生じ；分数化クラスの変更でそれらの間を遷移する。
• 例III（Rep D8）では6つのカテゴリーが得られ、スピン選択規則で区別できる；いくつかは群理論的でありD16およびSD16異常と関連する。
• この枠組みはSymSETデータをSPT相や潜在的なigSPT（ intrinsiclly gapless SPT）挙動などの物理的側面と結びつける。