[論文レビュー] Synchronizing Deterministic Push-Down Automata Can Be Really Hard

Henning Fernau, Petra Wolf+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

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ひとこと要約

この論文は、決定的スタックオートマトン（DPDA）の同期可能性の複雑さを調査し、一般のDPDAおよび決定的1カウンタオートマトンや1ターンスタックオートマトンでさえ、同期可能性が決定不能であることを証明する。しかし、有限ターンやスタック容量制限といった制約を組み合わせると、問題はPSPACE完全になる一方、部分的ブラインドカウンタオートマトンでは同期可能性が決定可能であり、オートマトン同期化における決定可能性と非決定性の鋭い境界を示している。

ABSTRACT

The question if a deterministic finite automaton admits a software reset in the form of a so-called synchronizing word can be answered in polynomial time. In this paper, we extend this algorithmic question to deterministic automata beyond finite automata. We prove that the question of synchronizability becomes undecidable even when looking at deterministic one-counter automata. This is also true for another classical mild extension of regularity, namely that of deterministic one-turn push-down automata. However, when we combine both restrictions, we arrive at scenarios with a PSPACE-complete (and hence decidable) synchronizability problem. Likewise, we arrive at a decidable synchronizability problem for (partially) blind deterministic counter automata. There are several interpretations of what synchronizability should mean for deterministic push-down automata. This is depending on the role of the stack: should it be empty on synchronization, should it be always the same or is it arbitrary? For the automata classes studied in this paper, the complexity or decidability status of the synchronizability problem is mostly independent of this technicality, but we also discuss one class of automata where this makes a difference.

研究の動機と目的

• 決定的スタックオートマトン（DPDA）の同期可能性問題の計算複雑さを、有限オートマトンを超えて特定すること。
• 同期化時のスタックの内容（空、同一、任意）という異なるスタック意味論が、決定可能性と複雑さに与える影響を分析すること。
• 特に有限ターンやカウンタベースのモデルといった構造的制約を課したDPDAの部分クラスにおいて、同期可能性が決定可能になるかどうかを同定すること。
• オートマトン理論における同期可能性問題の決定可能性と非決定性の境界を特定すること、特にスタックオートマトンおよびカウンタオートマトンにおいて。
• 同期可能性と既知の決定可能問題との関連を探索すること。例えば、包含関係が決定可能なオートマトンクラス（例：NTS言語）における包含関係など。

提案手法

• 同期可能性の決定不能性を示すために、ポスト対応問題（PCP）への還元を用いる。
• PCPのインスタンスをシミュレートする決定的スタックオートマトンを構築し、同期語が存在するかどうかがPCPの解の存在と等価になるようにする。
• オートマトン構築法を逐次的トランスデューサに適応し、出力のシミュレーションを通じてトレース同期化の決定不能性を証明する。
• 多項式空間アルゴリズムを用いて、スタック制約（例：同一のスタック内容）下での同期可能性を検証し、制限付きクラスにおけるPSPACE属を示す。
• 異なる同期モデル（空、同一、任意のスタック内容）におけるスタック動作を分析し、複雑さがスタック意味論にほとんど依存しないことを示す。
• 有限オートマトンにおける既知の複雑さ結果（例：短い同期語のNP完全性）を用いて、長さ制限付きバージョンの複雑さを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的1カウンタオートマトンにおける同期可能性問題は決定可能か？
• RQ2 決定的1ターンスタックオートマトンにおける同期可能性の複雑さは何か？
• RQ3 有限ターンとスタック容量制限を併用すると、DPDAの同期可能性問題は決定可能になるか？
• RQ4 スタック意味論（空、同一、任意）の選択が、同期化の決定可能性と複雑さに与える影響は何か？
• RQ5 同期可能性の決定不能性は、ブラインドまたは部分的ブラインドカウンタオートマトンなどのDPDAの他の部分クラスへ拡張可能か？

主な発見

• 一般の決定的スタックオートマトンでは、同期可能性が決定不能であり、1カウンタオートマトンや1ターンスタックオートマトンに制限しても同様である。
• 有限ターンDPDAに制限すると、問題はPSPACE完全になる。これは決定可能だが計算的に難しい問題であることを示している。
• 部分的ブラインド決定的カウンタオートマトンでは、同期可能性が決定可能であり、より一般なモデルにおける非決定性とは対照的である。
• 同期可能性問題の複雑さは、スタックの意味論（同期時に空、同一、任意）にほとんど依存しない。
• 逐次的トランスデューサにおけるトレース同期化問題は決定不能であり、スタック操作を出力生成でシミュレートするPCPに基づく還元によって証明された。
• 長さ制限付きのDPDAの同期問題のバージョンは、長さの上限が1進数で与えられるとNP完全であり、2進数で与えられるとEXPTIMEに属する。これは、長さ制限があると非決定性から実行可能になる複雑さの低下を示している。