[論文レビュー] Synthesis of anisotropic suboptimal controllers via convex optimization

M. M. Tchaikovsky, Alexander P. Kurdyukov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 63被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、確率的摂動と分布の不確実性を伴う離散時間線形システムに対して、凸最適化に基づく異方性の下で最適でないコントローラーを設計する手法を提案する。相対エントロピーと異方性ノルムを用いて問題を定式化することで、閉ループ系を安定化し、摂動の減衰をしきい値以下に保つ固定順位の動的出力フィードバックコントローラーの族が得られ、全情報、全順位の出力フィードバック、および静的出力フィードバックの各ケースにおいて凸解が得られる。

ABSTRACT

This paper considers a disturbance attenuation problem for a linear discrete time invariant system under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in terms of relative entropy using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H∞ norm. The designed anisotropic suboptimal controller generally is a dynamic fixed-order outputfeedback compensator which is required to stabilize the closed-loop system and keep its anisotropic norm below a prescribed threshold value. Rather than resulting in a unique controller, the suboptimal design procedure yields a family of controllers thereby providing additional degrees of freedom to closed-loop design. The general fixed-order synthesis procedure implies solving a convex inequality on the determinant of a positive definite matrix and two linear matrix inequalities in inverse matrices which make the general optimization problem nonconvex. By applying the known standard convexification procedures it is shown that the resulting optimization problem is convex for the full-information statefeedback, output-feedback full-order controllers, and static output-feedback controller for specific classes of plants defined by certain structural properties. In the convex cases, the anisotropic -optimal controllers are obtained by minimizing the squared norm threshold value subject to convex constraints. In a sense, the anisotropic controller seems to offer a promising and flexible trade-off between H2 and H∞ controllers which are its limiting cases. In comparison with the state-space solution to anisotropic optimal controller synthesis problem presented before which results in a unique full-order estimator-based controller defined by a complex system of cross-coupled nonlinear matrix algebraic equations, the proposed optimization-based approach is novel and does not require developing specific homotopy-like computational algorithms.

研究の動機と目的

• 確率的分布が正確に分かっていない摂動を伴う線形離散時間システムにおける摂動の減衰を扱う。
• 異方性ノルムを用いてシステムのロバストネスを定量化する。異方性ノルムはH∞ノルムの確率的一般化である。
• 閉ループ系を安定化し、所定の異方性ノルムしきい値を満たす固定順位の動的出力フィードバックコントローラーの族を設計する。
• 従来の状態空間解法で用いられる複雑なホモトピーに基づくアルゴリズムを回避する、計算的に取り扱いやすい手法を開発する。
• 特定のコントローラー構造に対して凸最適化定式化を確立し、下位最適コントローラーの効率的計算を可能にする。

提案手法

• 平均異方性関数を用いて相対エントロピーによる統計的不確実性をモデル化する。
• 異方性ノルムを用いて摂動の減衰を定義し、H∞ノルムの確率的対応物として位置付ける。
• 正定値行列の行列式に関する凸不等式と、逆行列に関する2つの線形行列不等式としてコントローラー設計問題を定式化する。
• 特定のコントローラークラスに対して、標準的な凸化技術を適用して非凸問題を凸問題に変換する。
• 得られた凸最適化問題を、凸制約のもとで二乗ノルムしきい値を最小化することで解く。
• 非線形行列方程式を解く必要がなく、凸最適化により異方性の下で最適でないコントローラーが得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計的不確実性下での異方性の下で最適でないコントローラー合成に向けた凸最適化フレームワークを構築できるか？
• RQ2 不確実なノイズ分布を伴うシステムにおいて、異方性ノルムを効果的に用いて摂動の減衰を定量化できるか？
• RQ3 非凸設計問題が凸化可能となるための、プラントおよびコントローラーの構造的条件は何か？
• RQ4 どのような状況で、本手法が一意な解ではなくコントローラーの族を生成するか？
• RQ5 本手法は、従来の状態空間法（交差結合非線形方程式に依存）と比較して、計算的および構造的にどのように異なるか？

主な発見

• 提案手法により、一意な解と比較して設計の柔軟性が向上する異方性の下で最適でないコントローラーの族が得られる。
• 全情報、全順位の出力フィードバック、および特定の静的出力フィードバックのケースでは、最適化問題が凸となり、標準的な凸最適化手法で解ける。
• 異方性コントローラーはH2とH∞性能の柔軟なトレードオフを提供し、両者の確率的一般化を表す。
• 従来の状態空間解法で必要とされるホモトピーに類似したアルゴリズムを回避でき、計算が簡素化される。
• 凸制約のもとで二乗ノルムしきい値を最小化する手法に基づくため、効率的な数値実装が可能である。
• 特定のプラントに関する構造的仮定のもとで、標準的な凸化手順を適用することで非凸問題構造が凸化される。