[논문 리뷰] Synthetic Homology in Homotopy Type Theory

R. L. Graham|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Eilenberg-Maclane 스펙트럼을 사용하여 안정 호모토피 군을 정의하고 이를 통해 호모토피 유형 이론 내에서 합성 호몰로지 이론을 확장함으로써 합성 호몰로지를 수립한다. 결과로 얻어진 구성이 Eilenberg–Steenrod 공리계를 만족한다는 것을 증명하며, 이는 유형 이론 내에서 컴퓨터 검증 가능한 호몰로지 이론의 기초를 제공한다. 이는 이전의 합성 호모토피 이론과 고차 호이디티브 유형 연구에 기반한다.

ABSTRACT

This paper defines homology in homotopy type theory, in the process stable homotopy groups are also defined. Previous research in synthetic homotopy theory is relied on, in particular the definition of cohomology. This work lays the foundation for a computer checked construction of homology.

연구 동기 및 목표

• 세포 구조나 고전적 집합론적 구성에 의존하지 않고 호모토피 유형 이론 내에서 호몰로지를 정의하기.
• 합성 안정 호모토피 이론을 확장하여 Eilenberg–Steenrod 공리계를 만족하는 호몰로지 이론을 구성하기.
• 고차 호이디티브 유형과 일치성의 원리를 활용하여 호몰로지에 대한 형식적이고 컴퓨터 검증 가능한 프레임워크 제공하기.
• 의존 유형 이론 내에서 호몰로지 대수학의 기계화된 증명을 위한 기초 마련하기.
• 형식화된 호모토피 이론에서 발생하는 쌍대극한과 고차 경로와 관련된 기초적 과제 해결하기.

제안 방법

• Freudenthal의 강체화 정리와 Blakers-Massey 정리를 이용해 $\pi_n^s(-)$를 안정 호모토피 군으로 정의하기.
• 고정된 스펙트럼 $K$에 대해 $\pi_n^s(- \land K)$를 자연성과 함의성의 성질을 이용해 호몰로지 이론으로 구성하기.
• 사전스펙트럼 $K_i$에 대해 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$로 확장하여 이가 호몰로지 이론을 이룬다는 것을 증명하기.
• 고차 경로와 경로 합성 처리를 위해 큐빅형 이론 접근법을 사용하여 계산 복잡성 문제 해결하기.
• 기존의 Eilenberg-Maclane 공간과 코호몰로지의 형식화를 활용하여 계수를 가진 정규 호몰로지 정의하기.
• 자연성과 쌍대극한 추론을 적용하여 강체화 및 정확성 공리 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\pi_n^s(- \land K)$가 고정된 스펙트럼 $K$에 대해 호몰로지 이론의 공리를 만족하는가?
• RQ2 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$가 사전스펙트럼 $K_i$에 대해 호몰로지 이론을 이룬다는 것을 보일 수 있는가?
• RQ3 표준 사상 $\bigoplus_i H_n(X_i) \to H_n(\bigvee_i X_i)$가 무한한 덧셈성을 뜻하는 동형사상인가?
• RQ4 $\Omega \operatorname{colim}_n X(n) \simeq \operatorname{colim}_n \Omega X(n)$이 기저를 가진 가족 $X_n$에 대해 성립하는가?
• RQ5 경로 공간의 쌍대극한은 어떻게 형식화된 유형 이론 내에서 처리할 수 있으며, 이를 통해 호몰로지 구성이 가능해지는가?

주요 결과

• 안정 호모토피 군 $\pi_n^s(-)$는 2.36조에서 증명된 바와 같이 호몰로지 이론을 이룬다.
• 고정된 스펙트럼 $K$에 대해 $\pi_n^s(- \land K)$의 구성은 3.5조에서 보여진 바와 같이 호몰로지 이론이다.
• 쌍대극한 구성 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$는 3.17조에서 확립된 바와 같이 호몰로지 이론이다.
• 계수를 가진 정규 호몰로지는 $K_i = K(G,i)$, 즉 Eilenberg-Maclane 스펙트럼로 설정함으로써 복구된다.
• 강체화 공리는 $\operatorname{susp}$의 자연성과 $\pi_n^s(- \land K)$의 함의성에 기반하여 만족된다.
• 호몰로지 이론의 정확성은 $\pi_n^s(- \land K)$의 정확성과 잘라낸 쌍대극한의 성질에 의해 유도된다.