[論文レビュー] Syzygies of Cohen-Macaulay modules over one dimensional Cohen-Macaulay local rings

Toshinori Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次元のコhen–マカウレイ局域環上の最大コhen–マカウレイ加群のシンジーギー構造を、自己準同型環 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ を通じて調べる。$R$ が最小多重度を持つことと $ abla\mathrm{CM}(E) = \nabla\mathrm{CM}'(R)$ が同値であること、$R$ がほぼゴレンシュタインであることと $ abla\mathrm{CM}(E) = \nabla\mathrm{CM}'(R)$ が同値であること、を確立する。これらの結果により、シンジーギー加群を用いたほぼゴレンシュタイン環の特徴づけがなされ、これらの条件下で $ abla\mathrm{CM}(R)$ が有限型であることが示される。

ABSTRACT

We study syzygies of (maximal) Cohen-Macaulay modules over one dimensional Cohen-Macaulay local rings. We compare these modules to Cohen-Macaulay modules over the endomorphism ring of the maximal ideal. After this comparison, we give several characterizations of almost Gorenstein rings in terms of syzygies of Cohen-Macaulay modules.

研究の動機と目的

• 1次元のコhen–マカウレイ局域環上の最大コhen–マカウレイ加群のシンジーギー構造を理解すること。
• 環 $R$ におけるシンジーギー加群と自己準同型環 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ におけるそれらを比較すること。
• コhen–マカウレイ $R$-加群のシンジーギー加群を用いて、ほぼゴレンシュタイン環を特徴づけること。
• 環 $R$ に対してカテゴリ $\nabla\mathrm{CM}(R)$ が有限型である条件を特定すること。
• $\mathrm{CM}(E)$ が有限型である例を構成し、これと安定カテゴリ $\underline{\mathrm{CM}}(R)$ の次元を関連付けること。

提案手法

• 自己準同型環 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ を用いて、$R$ 上のシンジーギー加群と $E$ 上のそれらを関連づけ、$E$ のコhen–マカウレイ性および半局域性を活用する。
• 反射的加群理論と $\mathcal{F}_n(A)$ を用いた $n$-捩れなし条件を適用し、$\mathrm{CM}(A)$ および $\nabla\mathrm{CM}(A)$ を特徴づける。
• アウスラーディスプレイ $\mathsf{Tr}M$ と $\mathrm{Ext}$ の消失条件を用いて、シンジーギー加群およびコhen–マカウレイ加群を同定する。
• 環の鎖 $R_n = \operatorname{End}_{R_{n-1}}(\mathfrak{m}_{n-1})$ の帰納的構成により、安定カテゴリの次元を制御できる例を構成する。
• $\mathrm{CM}(E)$ が有限型であることから、特定の条件下で $\nabla\mathrm{CM}(R)$ が有限型であることを導く。
• 三角化カテゴリのルーキエリの次元理論を用いて、$\dim\underline{\mathrm{CM}}(R)$ を $R_n$ の構造に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のコhen–マカウレイ局域環 $R$ に対して、カテゴリ $\nabla\mathrm{CM}(R)$ が有限型であるのはいつか？
• RQ2 $\nabla\mathrm{CM}(R)$ の構造は、自己準同型環 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ とどのように関係するか？
• RQ3 コhen–マカウレイ $R$-加群のシンジーギー加群を用いて、ほぼゴレンシュタイン環を特徴づけるのはどのような条件か？
• RQ4 どの環 $R$ に対して $\mathrm{CM}(E) = \nabla\mathrm{CM}'(R)$ が成り立つか？
• RQ5 安定カテゴリ $\underline{\mathrm{CM}}(R)$ の次元を任意の正の整数 $n$ として実現できるか？

主な発見

• 自己準同型環 $E = \operatorname{End}_R(\mathfrak{m})$ は、$R$ の整閉包に含まれる1次元のコhen–マカウレイ半局域環である。
• 包含関係の鎖が成り立つ：$\mathrm{\nabla CM}(E) \subseteq \mathrm{\nabla CM}'(R) \subseteq \mathrm{CM}(E) \subseteq \mathrm{CM}'(R)$ は $\mathrm{mod}(R)$ の部分カテゴリとして成り立つ。
• もし $R$ の残渣体が無限大であれば、$\mathrm{\nabla CM}(E) = \mathrm{\nabla CM}'(R)$ であることは、$R$ が最小多重度を持つことと同値である。
• もし $\widehat{R}$ が一般にゴレンシュタイン的であるならば、$\mathrm{CM}(E) = \mathrm{\nabla CM}'(R)$ であることは、$R$ がほぼゴレンシュタインであることと同値である。
• 任意の整数 $n > 0$ に対して、$R = k[[H]]$ で $H = \langle 2^{n+1}, \{2^{n+1} + 2^i\}_{i=1}^n, 2^{n+1} + 3 \rangle$ である完全交差環が存在し、$\dim\underline{\mathrm{CM}}(R) = n$ である。
• もし $R$ がほぼゴレンシュタインであれば、$\nabla\mathrm{CM}(R)$ が有限型であることと $\mathrm{CM}(E)$ が有限型であることは同値である。