[論文レビュー] t-Class semigroups of Noetherian domains

S. Kabbaj, A. Mimouni|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿はネーター整域のt-類半群を調査し、ネーター整域が強くt安定であるための必要十分条件として、Boole t-正則かつt次元1であること、すなわちt次元(R) = 1であることを特定した。この特徴づけを強モアイ整域へと拡張し、Boole t-正則性とt次元1が強t安定性を示すが、Clifford t-正則性だけではt次元1やt安定性を保証しないことを示した。

ABSTRACT

The t-class semigroup of an integral domain is the semigroup of fractional t-ideals modulo its subsemigroup of nonzero principal ideals with the operation induced by ideal t-multiplication. This paper investigates ring-theoretic properties of a Noetherian domain that reflect reciprocally in the Clifford or Boolean property of its t-class semigroup.

研究の動機と目的

• ネーター整域の環論的性質が、そのt-類半群のクラッフォードまたはボールの構造にどのように反映されるかを調査すること。
• ネーター整域においてt安定性がt正則性条件によって特徴づけられるかを特定すること。
• 強t安定性の特徴づけをネーター整域からより広いクラスの強モアイ整域へと拡張すること。
• t次元がt正則性およびt安定性の特徴づけにおいて果たす役割、特にtイデアルの構造と関連して明らかにすること。
• 非ネーター的強モアイ整域におけるt正則性の限界を検討し、t正則性下での整閉包の挙動を明らかにすること。

提案手法

• t乗法の下での非ゼロ主イデアルによる分数tイデアルの半群であるt-類半群S_t(R)を定義する。
• t作用を用いる：I_t = ∪(J_v)（Iの有限生成部分イデアルJの範囲で）、tイデアルとはI = I_tを満たすものと定義する。
• RがBoole t-正則であるとは、任意のtイデアルIに対して、あるc ≠ 0 ∈ qf(R)が存在し、I = c(I²)_tを満たすことと特徴づける。
• 特にt極大イデアルにおけるt局域化を用いることで、問題を局所的ネーター整域に還元する。
• 強モアイ整域ではvイデアルがv-有限であり、任意の乗法的集合Sに対して(I_S)_v = (I_v)_Sが成り立つことを利用する。
• vイデアルIと乗法的集合Sに対して、(I:I)_S = (I_S:I_S)が成り立つことを用い、イデアルとその安定化の局域化を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネーター整域においてBoole t-正則性が強t安定性をどのように導くか。
• RQ2 強t安定性と（Boole t-正則性およびt次元1）の同値性がネーター整域を超えて拡張可能か。
• RQ3 ネーター整域においてClifford t-正則性がt次元1またはt安定性を導くか。
• RQ4 強モアイ整域においてt次元がt正則性およびt安定性の特徴づけに果たす役割は何か。
• RQ5 Boole t-正則なネーター整域の完全整閉包R̄は、UFDまたはPIDであると期待できるか。

主な発見

• ネーター整域Rは、強t安定であるための必要十分条件として、Boole t-正則かつt次元(R) = 1を満たす。
• t次元が2であるBoole t-正則なネーター整域が存在することから、Boole t-正則性だけではt次元1が保証されないことが示された。
• ネーター整域では、(1) Clifford t-正則 ⇒ (2) (I:I)におけるt可逆性 ⇒ (3) L安定性という含み関係が成り立ち、(3) ⇒ (1)はt次元(R) = 1のときのみ成立する。
• 強モアイ整域では、強t安定性と（Boole t-正則性およびt次元1）の同値性が成り立ち、ネーター整域の結果を一般化する。
• 非ゼロの導出子(R:R̄)を持つネーター整域のBoole t-正則な整域では、完全整閉包R̄がUFDである。
• ネーターUFD Rに対してR[[X]]の例は、t次元1のClifford t-正則なネーター整域が擬似デデキンドでない、したがってt安定でもない可能性を示している。